Проценты. Решение задач на проценты
Слово "процент" происходит от латинского pro centum,
т.е. "на сотню".
С математической точки зрения 1% от A означает
сотую долю этого числа A.
Например,
5%=0.005
5% от A = 0.005A
Прежде чем приступить к вопросам коммерческой арифметики рассмотрим
простые задачи на проценты [8], предлагаемые в
общеобразовательной школе в 5-8 классах.
Задача 1.
При проверке влажности зерна, она оказалась равной
16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало
легче на 20 кг. Найти влажность зерна после просушки (с
точностью до 0.1%).
Решение.
1) 200·0.16 = 32 (кг) составляет вес воды в 200 кг
сырого зерна.
2) 32-20 = 12 (кг) - составляет вес
оставшйся воды в зерне.
3) 200-20 = 180 (кг)стало весить зерно.
4) 12:180 » 6.7% составляет влажность после
просушки.
Задача 2. В одном из городов Грузии часть жителей
умеет говорить только по-грузински, часть - только по-
русски.
По-грузински говорят 85% всех жителей, а по-
русски -
75%. Сколько процентов всех жителей говорит на
обоих языках?
Решение.
1) 100%-75% = 25% всех жителей не говорят
по-русски.
2) 85%-25% = 60% говорят по-
русски и по-грузински.
Задача 3. Число коров на одной молочной
ферме на 12.5% меньше, чем на другой, но средний удой
каждой коровы на
8% выше. На какой ферме получают молока меньше и на
сколько процентов?
Решение.
Пусть на второй ферме 1000 коров и удой
jnpnb в среднем
10 л, значит, общий удой 10000 л. Тогда на
первой ферме 875 коров, средней удой коровы
10.8 л, общий удой
9450 л. Общий удой на первой ферме составляет
9450:10000 = 0.945 = 94.5%
удой второй, т.е. на 5.5% меньше, чем на второй.
Задача 4. Объем строительных работ
увеличивается на 80%. На сколько процентов нужно
увеличить число рабочих,
если производительность труда будет увеличена на 20%?
Решение.
1) 100%+80% = 180% = 1.8 (объем строительных работ
по сравнению с первоначальным)
2) 100%+20% = 120% = 1.2 - производительность труда
по сравнению с первоначальной.
3) 1.8:1.2 = 1.5 = 150% - составляет количество
рабочих, необходимых теперь по сравнению с первоначальным,
т.е. на 50%
надо увеличить число рабочих.
Задача 5. В связи с введением рационализаторского
предложения время, необходимое для изготовления некоторой
детали машины, уменьшилось на 20%. На сколько процентов
увеличилась производительность труда?
Решение.
1) 1-0.2 = 0.8% прежнего времени необходимо теперь
для изготовления той же детали.
2) 1:0.8 = 1.25 = 125% - такова теперь
производительность
труда по сравнению с прежней, т.е. производительность
труда увеличилась на 25%.
Задача 6. Заработок рабочего повысился на
20%, а цены на продукты и другие товары снизились на
15%. На сколько
процентов рабочий теперь на свой заработок может купить
больше продуктов и товаров, чем прежде?
Решение.
Примем для простоты вычислений прежний заработок
рабочего за 10 руб, и пусть он покупает только один какой-
то продукт по 1 руб за килограмм, т.е. 10 кг. После
повышения на 20% заработок рабочего стал 12 руб, а цена
продукта после снижения цены на 15% -0.85 руб за 1 кг.
Теперь рабочий может купить 12:0.85 » 14.1(кг), т.е.
на 4.1:10 = 0.41 = 41% больше чем прежде.
Задача 7. Ширину прямоугольника увеличили на
3.6 см,
а длину уменьшили на 16%. В результате площадь нового
прямоугольника оказалась больше прежнего на 5%. Найти
ширину нового прямоугольника.
Решение.
Площадь измененного прямоугольника составляет 1.05
площади первоначального. Так как длина нового равна 0.84
прежнего, то ширина нового составляет 1.05:0.84=1.25
ширины прежнего,
отсюда первоначально ширина была 3.6:0.25=14.4
(см). Значит, ширина нового прямоугольника 14.4+3.6=18
(см).
Задача 8. Длину прямоугольника уменьшили на
2.4 см, а ширину увеличили на 30%. В результате площадь
нового
прямоугольника оказалась на 4% больше прежнего. Найти
длину нового прямоугольника.
Ответ: 9.6 см.
Задача 9. Две противоположные стороны
прямоугольника удлинили на 10на 10изменилась площадь прямоугольника?
Ответ: Уменьшилась на 1%.
Задача 10. Каждую сторону квадрата увеличили
на 20%. На
сколько процентов увеличилась площадь квадрата?
Ответ: Увеличилась на 44%
Задача 11. Изготовлены два куба - один из
меди, другой
из стали. Ребро медного куба на 20% больше ребра
стального
куба. На сколько процентов медный куб тяжелее по сравнению со
стальным? (Удельный вес меди на 10% больше удельного веса
стали.)
Ответ: » на 90.1%.
Задача 12. Из дуба и стали изготовлены две
треугольные пластинки
одинаковой толщины, но основание первого (из дуба)
треугольника на 20% больше основания второго и
высота первого треугольника на 50% больше
bqnr второго. На сколько процентов вес
стальной пластинки больше веса дубовой?
(Удельный вес дуба в 10 раз меньше удельного
веса стали. Площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту.)
Ответ: » на 456%.
Задача 13. При обработке деревянного бруса его длина
уменьшилась
на 2.5%, ширина на 7.2% и толщина на 2.8%. Сколько
процентов от первоначального объема бруса составили
отходы при обработке? (Ответ дать с точностью
до 0.1%.)
Ответ: » на 12.1%.
Задача 14. На сколько процентов увеличится объем
куба, если
каждое его ребро увеличить на 10%?
Решение:
1 - ребро куба, тогда объем куба 1 куб. ед.
1) 1 + 0.1 = 1.1 - ребро нового куба.
2) 1.1-1.1-1.1 = 1.331 - объем нового куба.
3) 1.331 - 1 = 0.331 (куб. ед.) - увеличился объем
куба.
4) 0.331 : 1 = 33.1% - на столько процентов увеличился
объем куба.
Задача 15.
На сколько процентов увеличится полная поверхность
куба, если каждое его ребро увеличить на 20%?
Решение:
1 - ребро куба; 1.2 - ребро нового куба.
Решение задачи запишем формулой.
(1.2 ·1.2 ·6) : (1·1·6) = 1.44 = 144%, |
|
т. е. поверхность куба
увеличилась на 44%.
Задача 16.
На утреннем концерте 40школьники, 36% - женщины и остальные посетители -мужчины. На
вечерний концерт пришло мужчин на 75% больше, чем на утренний, женщин
на 37.5% больше, а школьников на 75% меньше, чем на утренний концерт.
Как и на сколько процентов число посетителей на вечерний
концерт изменилось по сравнению с числом посетителей
на утреннем концерте?
Решение:
1) 40% + 36% = 76% составляют женщины и
дети.
2) 100% - 76% = 24% составляют мужчины.
3) 24% + 24%·3/4 = 42% составляют мужчины на
вечернем концерте.
4) 40% - 40%·3/4 = 10% составляют школьники на
вечернем концерте.
5) 36% +36% ·3/8 = 49.5% составляют женщины на вечернем
концерте.
6) 42% + 49.5% + 10% = 101.5% от числа посетителей на утреннем концерте составляет число
посетителей на вечернем концерте, т. е. на вечернем концерте посетителей
было больше, чем на утреннем, на 1.5%.
Задача 17.
Слиток сплава серебра с цинком весом в 3.5 кг
содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и
получили слиток весом в 10.5 кг, содержание серебра в котором
было 84%. Сколько процентов серебра содержалось
во втором слитке?
Решение:
1) 3.5-0.76 = 2.66 (кг) серебра в первом слитке.
2) 10.5-0.84 = 8.82 (кг) серебра в 10.5 кг сплава.
3) 8.82 - 2.66 = 6.16 (кг) серебра во втором
слитке.
4) 10.5 - 3.5 = 7 (кг) вес второго слитка.
5) 6.16: 7 = 0.88 = 88% серебра содержалось во
втором слитке.
Задача 18.
5 л сливок с содержанием жира 35% смешали с
4 л 20-ти процентных сливок и к смеси добавили 1 л чистой
воды. Какой жирности получилась смесь?
Решение:
1) 5-0.35 = 1.75 (л) жира в 5 л сливок.
2) 4-0.2 = 0.8 (л) жира в 4 л сливок.
3) 1.75+0.8 = 2.55 (л) жира в смеси.
4) 5+4+1 = 10 (л) - вес смеси.
5) 2.55 : 10 = 0.255 = 25.5% -
жирность смеси.
Задача 19.
К 200 куб.см 15-ти процентного раствора соли
добавили 300 куб.см 40-ка процентного
раствора той же соли и
250 куб.см чистой воды. Каково процентное
qndepf`mhe соли в полученном растворе?
Ответ: 20%.
Задача 20.
Из двух сплавов с 60-ти процентным и 80-ти процентным
содержанием меди требуется получить сплав в 40 кг с 75-ти
процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава
следует взять для этого?
Ответ: 10 кг и 30 кг.
Задача 21.
Нержавеющая сталь представляет сплав железа
с хромом и никелем. Сколько хрома и сколько никеля надо
сплавить с 67.6 кг железа, если хрома в сплаве
должно быть 15%, а никеля в 30 раз меньше,
чем хрома?
Ответ: 12 кг и 0.4 кг.
Задача 22.
Сколько граммов 8% серной кислоты можно
получить
из 200 г жидкости, содержащей 62% серной
кислоты?
Решение:
1) 200·0.62 = 124 (г) - столько
крепкой (100%) серной кислоты содержится в 200 г
62-х процентной кислоты.
2) 124: 0.08 = 1550 (г) - столько 8-ми процентной кислоты
можно получить из 200 г 62-х процентной серной
кислоты.
Задача 23.
До какого веса надо выпарить 800 г 10-ти
процентного
раствора соли, чтобы довести ее содержание до
16%?
Ответ: 500 г.
Задача 24.
Сколько граммов воды надо прибавить к 50 г 35-
ти процентной соляной кислоты, чтобы получить
10-ти процентную кислоту?
Ответ:
125 г.
Задача 25.
Древесина только что срубленного дерева
содержит
64% воды. Через неделю количество воды стало уже 48%
от веса дерева. На сколько уменьшился при этом вес дерева,
если только что срубленное оно весило 7.5 ц. (Ответ
дать с точностью до 0.1 ц)
Решение:
1) 7.5-0.64 = 4.8 (ц) содержится воды в только что
срубленном дереве.
2) 7.5 - 4.8 = 2.7 (ц) содержится сухой древесины в
дереве.
3) 100% - 48% = 52% веса дерева через неделю
составляют 2.7 ц сухой древесины.
4) 2.7 : 0.52 » 5,2 (ц) весит дерево через
неделю.
5) 7.5 - 5.2 = 2.3 (ц) - на столько
уменьшился вес дерева за неделю.
Задача 26.
Только что добытый каменный уголь содержит 2%
воды. После некоторого времени он впитывает в
себя еще некоторое количество воды и содержит
уже 15% ее. На сколько увеличивается при этом
вес 25.75 т только
что добытого каменного угля? (Ответ дать
с точностью до 0.1 т.)
Ответ: 3.9 т.
Задача 27.
Молоко одной коровы содержит 5% жира; молоко
же другой - 3.5%, но удой ее на 30% выше
первой. Сколько надо взять молоха от первой
коровы, чтобы получить
жира на 5.4 кг больше, чем дает молока за
то же время вторая корова?
Решение:
Каждые 100 кг молока, надоенного за какой-
то
срок от первой коровы, содержат 5 кг (5%)
жира.
Каждые 130 кг молока, надоенного за тот же
срок от второй коровы, содержат 4.55 кг жира
(130·0.035).
Каждые 100 кг молока от первой коровы
содержат
больше жира, чем 130 кг молока от второй коровы
на 0.45 кг (5-4.55).
Чтобы иметь от молока первой коровы жира на 5.4
кг
больше, чем от молока второй за один и тот же
срок, надо иметь (5.4 : 0.45), т.е. 12 удоев
молока по 100 кг, значит 1200 кг.
Задача 28.
Найти возраст брата и возраст сестры, если
62.5%
возраста брата больше 75% возраста сестры на 2
года, а
50% возраста брата больше 37.5% возраста сестры на 7
лет.
Решение:
62.5% возраста брата больше 75% возраста сестры
на 2 года. 50% возраста брата больше 37.5% возраста
сестры на 7 лет, значит, 100% возраста брата больше
75% возраста сестры на 14 лет, отсюда 37.5% возраста
брата составляют 12 лет.
12 : 0.375 = 32 (года)
брату.
32-14 = 18 (лет) составляют 75сестры.
18 : 0.75 = 24 (года) сестре.
Задача 29.
Одно из слагаемых составило [5/ 12] другого.
Сколько процентов от суммы составляет меньшее
слагаемое? (Решение
задачи объяснить, ответ дать с точностью до 0.1%.)
Решение:
Пусть второе слагаемое 1, тогда первое слагаемое
[5/ 12]
а сумма 1[5/ 12].
[5/ 12] от 1[5/ 12] составляют [5/ 17] » 0.294 = 29.4%.
Следовательно, меньшее слагаемое составляет » 29.4%
от суммы.
Задача 30.
Вычитаемое составляет [7/ 13] уменьшаемого. Сколько
процентов вычитаемого составляет разность? (Решение задачи
объяснить, ответ дать с точностью до 0.1%.)
Решение:
Пусть уменьшаемое 1, тогда вычитаемое [7/ 13],а разность
[6/ 13] (1-[7/ 13] = [6/ 13]).
[6/ 13] от [7/ 13] составляет 6/7 » 85.7%.
Задача 31.
Один рабочий обтачивает за неделю 960 изделий
и израсходовал на это 12 резцов, другой
рабочий на обточку 640 таких же деталей
израсходовал 10 резцов. Кто экономнее
расходовал резцы и на сколько процентов?
Решение:
1) 12 :960 = [1/ 80] часть резца расходует
один рабочий
на изготовление одной детали.
2) 10 : 640 = [1/ 64] части резца расходует
второй рабочий на изготовление одной детали.
3) [1/ 80] :[1/ 64] = 0.8 = 80%, т.е.
первый рабочий расходовал резцы на 20% экономнее, чем
второй.
Задача 32.
Три бригады начали одновременную пахоту. Установленная
планом ежедневная норма первой бригады так
относится к норме второй бригады, как 5 : 4, а второй и
третьей, как 2 к 1.5. Первая бригада увеличила ежедневную
норму на 10%, вторая бригада на 20%, а третья, как
и первая, на 10%. В результате к одному сроку первая
бригада вспахала на 14 га больше второй бригады. Сколько
гектаров вспахала каждая к этому сроку?
Решение:
I:II = 5 : 4;
II:III = 2: 1.5 = 4: 3; отсюда I:II:III = 5 : 4: 3.
1) 5+5·[1/ 10] = 51/2 частей составляет
новая ежедневная норма 1 бригады.
2) 4+4·1/5 = 41/5 части приходится ежедневно
на новую норму II бригады.
3) 3+3·[1/ 10] = 3[3/ 10] части ежедневной
нормы III бригады.
Теперь I:II:III = 51/2: 44/5 : 3 [3/ 10] = 55 : 48 :33.
4) 55-48 = 7 (частей) составляют 14 га.
5) [14·55/ 7] = 110 (га) вспахала первая бригада.
6) [14·48/ 7] = 96 (га) вспахала
вторая бригада.
7) [14·33/ 7] = 66
(га) вспахала третья бригада.
Задача 33.
За 1 квартал завод выполнил 26% годового плана,
а количество продукции, выполненное за II, III и IV
кварталы, пропорционально числам 6.5 : 7.8 : 9.1.
Определить,
на сколько процентов перевыполнил завод план, если
во II квартале завод дал продукции в 11/4
раза больше, чем в первом.
Решение:
II:III:IV = 6.5: 7.8: 9.1 = 5:6:7.
1) 26% ·11/4 = 32.5% годового плана дал
завод во втором квартале.
2) 32.5%:5 = 6.5% приходится на 1 часть.
3) 6.5% ·6 = 39% дал завод в третьем квартале.
4) 6.5% ·7 = 45.5% дал завод в четвертом
квартале.
5) 26% + 32.5% + 39% + 45.5% = 143% годового
плана фактически выполнил завод, т.е. перевыполнил план
на 43%.
|