Задача 2. Известно, что уравнение x3-3x+1 = 0 имеет три действительных корня
x1, x2, x3. Докажите, что
x13+x23+x33 = (x1+1)(x2+1)(x3+1).
Задача 3. Рассмотрим все n-значные натуральные числа, делящиеся на 19, запись
которых состоит только из единиц и нулей. Докажите, что количество
таких чисел равно ближайшему к 2n-1/19 целому числу.
Задача 4. В треугольнике ABC проведены биссектриса AL и высота AH.
Из точки L опущены перпендикуляры LE и LF на прямые AB и AC
соответственно. Прямая AL пересекает прямую EH в точке M,
а прямую FH - в точке N. Найдите MN:AL, если AB:AC = l.
Задача 8. Непрерывная функция f(x) удовлетворяет функциональному уравнению
f
ж и
xf(x)
ц ш
= f(x)+x2.
Известно, что график этой функции пересекает ось абсцисс. Докажите, что
он пересекает ось ординат в точке (0, 1).
Задача 9. На рисунке прямоугольники составлены из попарно равных фигур,
значит, их площади равны. Однако площадь одного равна 64 клеткам, а
площадь другого - 65. Где ошибка?
Задача 10. Известно, что sina > 0, sin3a > 1/4. Докажите,
что
