Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Функциональные неравенства
Пример 28. Функция f дважды дифференцируема на отрезке
[0, p]. Известно, что
1) f(0) = f(p) = 0;
2) f ўў(x)+f(x) і 0 для любого x О [0, p].
Доказать, что f(x) = asinx.
Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию
g(x) = f ў(x)sinx-f(x)cosx.
Продифференцировав её, получим
gў(x) = (f ўў(x)+f(x))sinx і 0, x О [0, p].
Следовательно, g не убывает на промежутке [0, p]. Но
g(0) = g(p) = 0, что означает g(x) = 0 для любого x О [0, p].
Тогда f ў(x)sinx-f(x)cosx = 0, откуда
ж з
и
f(x)
sinx
ц ў ч
ш
=
f ў(x)sinx-f(x)cosx
sin2x
= 0.
Таким образом,
f(x)
sinx
есть константа, и f(x) = asinx.
Пример 29. Найти все такие функции f, что для любых чисел
x и y выполняется неравенство
f(x)-f(y) Ј (x-y)2.
Следовательно, для любых x, y
-(x-y)2 Ј f(x)-f(y) Ј (x-y)2.
Разделим последнее двойное неравенство на (x-y) в
предположении, что x № y, получим:
-(x-y) Ј
f(x)-f(y)x-y
Ј (x-y) x-y > 0,
(y-x) і
f(x)-f(y)x-y
і -(y-x) x-y < 0.
Значит, для любых действительных x, y (x № y) выполнены неравенства
-|x-y| Ј
f(x)-f(y)x-y
Ј |x-y|.
Теперь зафиксируем к примеру переменную x, а значение y
устремим к x. Тогда в полученном двойном неравенстве
выражения, стоящие справа и слева будут стремиться к нулю, а
между знаками неравенства будет стоять выражение для
производной функции f(x):
0 = -
lim y® x
|x-y| Ј
lim y® x
f(x)-f(y)x-y
Ј
lim y® x
|x-y| = 0.
Таким образом, установили существование производной функции
f(x) в любой точке x, причём f ў(x) = 0. Отсюда следует, что
функция f -константа.
