Уравнение Эйлера. Непрерывная функция j:R(r) R такова, что для любого вещественного x выполняется равенство

Первое доказательство. Прежде всего по индукциидокажем, что для любого натурального n справедливо соотношение:

Выберем теперь действительное число a такое, что j(a) № 0 (если таких x не существует, то j(x) є 0 и является константой). Для определённости положим, что j(a) > 0. (Если j(a) < 0, то доказательство аналогично.) Рассмотрим график функции y = j(x) на отрезке [a,a+j(a)] и покажем, что на этом отрезке функция j(x) постоянна и равна j(a). Из (1) следует, что на концах данного отрезка, т.е. в точках с абсциссами a и a+j(a), функция принимает равные значения (рис.1):

Эта прямая имеет очень малый наклон g к оси абсцисс (точнее к её отрицательному направлению) (рис. 2), поскольку tg g = ¹/_n - мало при больших n, а потому g тоже мало. Следовательно данная прямая близка к горизонтальному положению. Будем двигать её параллельно самой себе в направлении точек A, B и C (если, конечно, она уже не находится между этими точками). При этом наклон прямой будет оставаться прежним, а в уравнении x+ny = c изменится лишь параметр c. Рано или поздно прямая L отделит точки A, B от точки C.

Можно эту прямую построить иначе. Достаточно взять горизонтальную прямую, параллельную прямой AB, которая отделит точку C от точек A, B. Если эту прямую чуть-чуть наклонить к оси абсцисс под углом g = 0 tg g = ¹/_n, n > 1 - натуральное), то взаимное положение точек A, B, и C относительно этой прямой не изменится. Итак, существование прямой L доказано.

Ввиду непрерывности функции j(x) такая прямая должна пересекать график функции j(x) по крайней мере в двух различных точках (x₁,y₁) и (x₂,y₂), первая из которых расположена на участке AC кривой y = j(x), а вторая - на участке CB (рис. 1). Поскольку эти две точки лежат одновременно и на кривой y = j(x), и на прямой x+ny = c, то

Воспользовавшись условием (2), находим, что с одной стороны

Кроме того, в силу формулы (2) значения функции j(x) в точках a+nj(a) при различных натуральных n равны j(a). Следовательно, данное выше доказательство для отрезка [a,a+j(a)] можно обобщить на отрезки вида [a+kj(a),a+(k+1)j(a)], ведь в доказательстве для нас был важен лишь тот факт, что на концах рассматриваемого отрезка значения функции j(x) равны. Значит, на каждом из отрезков [a+j(a), a+2j(a)], [a+2j(a), a+3j(a)], ... [a+kj(a),a+(k+1)j(a)], ... функция j(x) постоянна и равна j(a) (рис. 3), т.е. для любой действительной точки x, расположенной правее a

Примечание. Для случая j(a) < 0 сначала нужно рассмотреть отрезок [a+j(a), a], далее показать, что j(x) = j(a) для всех x Ј a, и только потом определить решение на всей числовой оси.

Второе доказательство. Будем считать, что j(x) № 0. Тогда существует число a такое, что j(a) № 0. Допустим j(a) > 0 (случай j(a) < 0 рассматривается совершенно аналогично.) В этом случае в некоторой окресности точки a функция j(x) принимает положительные значения, и если допустить, что j(x) № const, то не все из этих значений равны. Рассмотрим некоторый промежуток [a, b] из этой окрестности, в котором функция j(y) монотонна.

1 случай. Функция j(x) возрастает на отрезке [a, b], 0 < j(a) < j(b). На отрезке [a+j(a), b+j(b)] функция принимает те же значения, что и на отрезке [a, b], поскольку j(x+j(x)) = j(x), но она как-бы "растянута" по всему отрезку.

Аналогично, те же значения она принимает на каждом из промежутков [a+nj(a), b+nj(b)], что следует из равенства (2): j(x+nj(x)) = j(x). Поэтому на всех этих отрезках функция j(x) возрастает. Покажем, что это невозможно. Ясно, что найдётся такое натуральное число n, что

2 случай. Функция j(x) убывает на отрезке [a, b], 0 < j(b) < j(a). В этом случае доказательство проводится так же, как и в случае 1. Противоречие даёт следующее неравенство

Мы приведём ещё одно решение функционального уравнения Эйлера. К сожалению, в нём предполагается, что функция j(x) равномерно непрерывна на действительной прямой, что несколько сужает класс искомых функций. Однако данное решение достаточно оригинально, и его стоит рассмотреть.

Третье доказательство. Выберем действительное число a такое, что

Использование равенства (2) и равномерной непрерывности функции j(x) будет являться ключевым моментом в нашем доказательстве. Функция j(x), как и любая равномерно непрерывная функция, характеризуется тем свойством, что малому приращению аргумента соответствует малое приращение самой функции, т.е. каким бы малым ни было число e > 0, существует такое число d, что при любых допустимых x₁ и x₂, для которых |x₁-x₂| < d, выполнено |j(x₁)-j(x₂)| < e. Подчеркнём ещё раз, что выбранное здесь число d не зависит от значений x₁ и x₂, так что на любом достаточно малом промежутке функция j(x) изменяется незначительно. Рассмотрим две последовательности a+nj(a) и c+mj(c) действительных чмсел. Долее мы покажем, что при некоторых натуральных n и m члены этих последовательностей бдизки друг к другу, т.е. для любого наперёд заданного числа d найдутся такие натуральные n и m, что |(a+nj(a))-(c+mj(c))| < d. Что же это нам даёт? Ввиду равномерной непрерывности j(x) значения j(a+nj(a)) и j(c+mj(c)) тоже мало отличаются друг от друга. Но j(a+nj(a)) = j(a) и j(c+mj(c)) = j(c) (из соотношения (2)), значит, j(a) и j(c) сколь угодно близки. Однако, j(a) и j(c) фиксированные величины, разность которых - некоторое конечное число. Таким образом, мы приходим к ожидаемому противоречию.

Итак, нужно доказать, что для любого d всегда найдутся такие натуральные n и m, что числа a+nj(a) и c+mj(c) отличаются меньше чем на d, т.е.

Мы показали, что при некотором натуральном m число c+mj(c) будет соответствовать на окружности точке, очень близкой к точке a (или точке a+nj(a), что одно и то же). Поэтому для некоторых m и n получим, что a+nj(a) = c+mj(c), точнее эти числа отличаются меньше, чем на d. (Подумайте, где здесь использовано условие о том, что числа j(a) и j(c) одного знака.)

Для завершения доказательства возьмём произвольное (сколь угодно малое) число e > 0, по нему определим число d таким способом, чтобы выполнялось условие в определении равномерной непрерывности функции. Для данного d найдутся натуральные числа n и m такие, что |(a+nj(a))-(c+mj(c))| < d, а это неизбежно влечёт неравенство