Здесь мы будем рассматривать определённый тип функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (1)-(4). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений. (Вообще говоря, в пунктах 2.2-2.4 §2 как раз был использован этот метод.)

Пример 7. Найти все непрерывные функции f(x), определённые на интервале (0,  + Ґ) такие, что при любых допустимых значениях x₁ и x₂ выражение f(x₁y) -f(x₂y) не зависит от y.

Решение. По условию выражение f(xy) - f(y) (здесь x₁ = x, x₂ = 1) не зависит от y. Значит, если подставить вместо y какоелибо значение, например, y = 1, то это никак не повлияет на значение данного выражения. Поэтому

Заметим, что проверка является важной составной частью решения любого функционального уравнения. В процессе решения мы пытаемся найти функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению, в предположении, что она существует. Так что если нам удастся установить её вид, то это не значит, что решение существует, а значит только, что если оно есть, то оно обязательно будет иметь установленной вид. Проверка покажет, так ли это на самом деле.

Пример 8. Найти непрерывные решения функционального уравнения

Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию:

Пример 9. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций

Решение. Положим в уравнении (x+y) вместо x и 0 вместо y, получим:

Пример 10. Найти все непрерывные функции f: (0,  +Ґ) ® R, удовлетворяющие тождеству

Решение. Поделив тождество на xy, перепишем его так: