Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Метод подстановок
Общая суть метода такова: применяя различные подстановки
(т. е. заменяя некоторые переменные функционального
уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо
другими выражениями), мы пытаемся либо упростить это уравнение,
либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет
очевидным. В задачах, решаемых таким методом очень часто
не указывается класс функций, в котором решение ищется.
В таких случах предполагается, что нужно найти все
решения без всяких ограничений (непрерывные, разрывные и
т. д.). Особенность применяемого метода как раз и
состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать
решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Пример 11. Найти все решения функционального уравнения
f(xy) = ykf(x) (k -натуральное).
Решение. Положим в уравнении x = 0: f(0) = ykf(0). Так как y - произвольно, то f(0) = 0.
Пусть теперь x № 0. Подставим в уравнение y = 1/x, получим:
f(1) =
ж з
и
1x
ц ч
ш
k
·f(x) или f(x) = axk (a = f(1)).
Функция f(x) = axk является, как нетрудно проверить,
решением исходного уравнения.
Пример 12. Пусть a № ±1 - некоторое
действительное число. Найти функцию f(x),
определённую для всех x № 1 и удовлетворяющую уравнению
f
ж з
и
xx-1
ц ч
ш
= af(x)+j(x),
где j - заданная функция, определённая при x № 1.
Решение. При замене
x®
xx-1
выражение
xx-1
переходит в x. Поэтому получаем систему
м п п н
п п о
f
ж з
и
xx-1
ц ч
ш
= af(x)+j(x),
f(x) = af
ж з
и
xx1
ц ч
ш
+j
ж з
и
xx-1
ц ч
ш
,
решением которой при a2 № 1 является функция
f(x) =
aj(x)+j
ж з
и
xx-1
ц ч
ш
1-a2
.
Пример 13. Найти все функции j(x), заданные на
промежутке I = (-Ґ, 0) И(0, 1) И(1, +Ґ), для которых
выполнено равенство
j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
+j
ж з
и
x-1x
ц ч
ш
-2j(x) = x.
Решение. Выполнив последовательно две замены
x®
x-1x
и
x®
1
1-x
,
приходим к системе функциональных уравнений:
м п п п н
п п п о
j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
+j
ж з
и
x1x
ц ч
ш
-2j(x) = x,
j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
2j
ж з
и
x-1x
ц ч
ш
+j(x) =
x-1x
,
2j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
+j
ж з
и
x1x
ц ч
ш
+j(x) =
1
1-x
,
Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1,
т. е. из данной системы функция j(x) однозначно не
определяется. Из первых двух уравнений находим
j(x) = j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
-
1
3
·
2x2+x-1x
,
j
ж з
и
x-1x
ц ч
ш
= j
ж з
и
1
1-x
ц ч
ш
-
1
3
·
x2+2x1x
.
(1)
Мы можем определит j(x) произвольным образом на одном из
интервалов (-Ґ, 0), (0, 1), (1, +Ґ), и
формулы (1) дадут нам расширение j(x) на вcё множество
I.
Пример 14. Найти решение системы функциональных уравнений относительно
неизвестных функций f(x) и g(x):
м п п н
п п о
f(2x)+2g(2x) =
2x2+x+1x
,
f
ж з
и
1x
ц ч
ш
+g
ж з
и
1x
ц ч
ш
=
x2+x+1x
.
Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.
