Горохов А.В. "Элементы теории относительности" (Задачи)

Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников

Ресурсы сайта (Физика)

Горохов А.В. "Элементы теории относительности"

Содержание

Примеры решения задач

Нейтрино летит со скоростью света относительно ракеты. Ракета сама движется относительно звезд с околосветовой скоростью v = 0,9 c. Определить скорость нейтрино в системе "Звезды".
Решение:

Применяя релятивистскую формулу сложения скоростей (6) получаем:

v = c + 0,9 c
1 + c·0,9 c/c²
= 1,9 c
1,9
= c.

Ответ: Скорость нейтрино относительно звезд равна скорости света.
В космических лучах наблюдаются очень энергичные протоны с энергией ~ 1,0·10²⁰эВ. Для протона m_p c² » 10⁹эВ. Сколько времени понадобится такому протону, чтобы пересечь нашу Галактику (диаметром ~ 10⁵ световых лет), если время измерять по часам, летящим вместе с протоном?
Ответ выразите в секундах (1 год » 32·10⁶ сек.) (В системе отсчета Земли такой протон, движущийся почти со скоростью света, пересекает Галактику немногим более чем за 10⁵ лет!)

Решение:

Отношение энергии протона к его энергии покоя (см (14)) дается лоренцевым фактором g:

E
E₀
= 1

________
Ц1 - v²/c²

= g.

С другой стороны, временной интервал Dt, за который протон пересекает Галактику по земным часам, связано с собственным интервалом времени Dt, прошедшим по часам, движущимся вместе с протоном, соотношением

Dt = ________
Ц1 - v²/c²

Dt = g^-1 Dt.

В условиях задачи g = 10¹¹. Поэтому

Dt = 10^-11·10⁵·32·10⁶ c = 32 c.

Ответ: Протон по своим часам пересекает Галактику за 32 секунды!
Теория относительности пришла к выводу, что все тела при их движении испытывают лоренцево сокращение. Означает ли это, что наблюдатель, движущийся с релятивистской скоростью, видит все предметы сплющенными в направлении движения?

Решение:

Рис. 13
Пусть непрозрачный куб с ребром l₀ в своей системе отсчета движется относительно наблюдателя со скоростью V. Наблюдатель фотографирует его в тот момент, когда лучи света, испускаемые поверхностью куба, попадают в объектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата (см. Рис 13)).
Какое изображение будет сфотографировано?
Пусть куб фотографируется издалека (в параллельном пучке света).
Лучи, испущенные разными точками ребра A^ўB^ў одновременно в системе куба S^ў, достигнут фотопластинки тоже одновременно. Длина изображения будет такой же, как и вслучае неподвижного куба и будет определяться только тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным расстоянием до предмета. Для дальнейшего удобно принять эту длину за единицу.
У неподвижного куба изображение ребра E^ўF^ў в параллельных лучах сливается с изображением A^ўB^ў. В случае движущегося куба лучи от ребра E^ўF^ў должны быть испущены раньше на время Dt = l₀/c, тогда достигнут фотопластинки одновременно с лучами от A^ўB^ў. В момент испускания света ребро E^ўF^ў занимало положение E^ў₁F^ў₁ и до испускания света ребром A^ўB^ў проделало путь, равный V l₀/c. Следовательно, теперь изображения ребер A^ўB^ў и E^ўF^ў не наложатся, изображения ребер A^ўB^ў и B^ўF^ў будут иметь длину V/c = b, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся грань A^ўB^ўF^ўE^ў сфотографируется в виде прямоугольника ABFE с отношением сторон, равным 1/b.
Лучи, создающие изображение ребер A^ўB^ў и С^ўD^ў, испускаются кубом одновременно в системе S. В системе S^ў, как следует из преобразований Лоренца (), лучи с ребра С^ўD^ў, должны быть испущены раньше, чем с ребра A^ўB^ў, на время Dt = [Ц(1 - V²/c²)] V l/c², где l - длина ребер B^ўC^ў и A^ўD^ў в системе S. Можно считать, что в системе S^ў на расстоянии Dx^ў = l₀ произошли два события, причем одно из них на Dt^ў позже другого. Расстояние между ними в системе S равно

l є Dx = _______
Ц1 -V²/c²

(Dx^ў - V Dt^ў) = l₀ ж
Ц

1 - b²

.

Ребра B^ўC^ў и A^ўD^ў, параллельные направлению движения, испытали, таким образом, обычное лоренцево сокращение. Их изображения (с учетом сокращения в фотопластинке) будут иметь длины Ц{1 - b²}.
Итак, на фотографии получится задняя ( по отношению к направлению движения) часть куба; т.е. куб будет выглядеть на фотографии повернутым на угол a = arcsin (V/c) (см. правую часть Рис. 13), но его форма не будет искажена. Если бы при больших скоростях "работали" законы классической физики (время было бы абсолютным и выполнялись преобразования Галилея), то на фотографии ребра A^ўD^ў, и B^ўC^ў не испытали бы лоренцева сокращения, отрезки AD и BC имели бы на фотографии длины, равные 1, и форма куба была бы искажена.
В неподвижной системе отсчета две частицы движутся со скоростями ₁ = (v₁, 0, 0) и ₂ = (v₁, 0, 0).
Найти относительную скорость частиц ₀.

Решение:

Пусть система S^ў движется со скоростью [(v)\vec]₁. Тогда относительная скорость - скорость второй частицы в системе отсчета S^ў. Полагая в (7) v_x = v₂, v_x^ў = v₀, V = v₁ получим

v₂ = (v₁ + v₂)/(1 + v₁ v₀/c²)^{- 1},

откуда

v₀ = v₂ - v₁
1 - v₁ v₂/c²
.

Если, например, v₁ = 0,98 c, v₂ = 0,99 c, то v₀ = c/3.
Два протона движутся навстречу друг другу со скоростями ₁ = (-v, 0, 0), ₂ = (v, 0, 0).
Найти соотношение между кинетической энергией их относительного движения T₀ и кинетической энергией протона T.

Решение:

1 - ый способ. Согласно предыдущей задаче относительная скорость v₀ = 2v/(1 + v²/c²).
Далее находим

T₀ = m_p c² й
к
л ж
з
и 1 - v₀²
c²
ц
ч
ш - 1/2

- 1 щ
ъ
ы = m_p c² 2 v²
1 - v²/c²
= 4 T + 2 T²
m_p c²
.
(24)

2 - ой способ. Так как масса - инвариант, то правую часть формулы (23) можно в любой удобной инерциальной системе отсчета, например, в исходной системе и в системе покоя первого протона, в которой E^ў₁ = m_p c², ^ў₁ = 0.
Приравнивая два такие выражения, получим уравнение

4 (T + m_p c²)² = (2 m_p c² + T₀)² -[(m_p + T₀)² - m_p c⁴],

из которого слудует ответ, полученный в первом варианте решения, т.е. формула (24).
В этой задаче получен очень важный результат для современной физики высоких энергий. Ньютоновская механика предсказывает, что можно получить лишь четырехкратный выигрыш в энергии, когда используют встречные пучки частиц, т.к. здесь всегда T₀ = 4 T. В релятивистской области энергий, когда T >> m_p c², получают существенное увеличение энергии: T₀ ~ 2 T²/(m_p c²). Так на ускорителе "Теватрон", (Батавия, США) разгоняют встречные пучки протонов и антипротонов до энергий ~ 0,9 ТэВ (1 ТэВ = 10¹² эВ). При этом энергия относительного движения T₀ ~ 2·10³ ТэВ.