Нейтрино летит со скоростью света относительно ракеты. Ракета сама
движется относительно звезд с околосветовой скоростью v = 0,9 c.
Определить скорость нейтрино в системе "Звезды".
Ответ: Скорость нейтрино относительно звезд равна скорости света.
В космических лучах наблюдаются очень энергичные протоны с энергией
~ 1,0·1020эВ. Для протона mpc2 » 109эВ.
Сколько времени понадобится такому протону, чтобы пересечь нашу Галактику
(диаметром ~ 105 световых лет), если время измерять по часам, летящим
вместе с протоном?
Ответ выразите в секундах (1 год » 32·106
сек.)
(В системе отсчета Земли такой протон, движущийся почти со скоростью
света, пересекает Галактику немногим более чем за 105 лет!)
Решение:
Отношение энергии протона к его энергии покоя
(см (14)) дается лоренцевым фактором g:
EE0
=
1
________ Ц1 - v2/c2
= g.
С другой стороны, временной интервал Dt, за который протон
пересекает Галактику по земным часам, связано с собственным интервалом времени
Dt, прошедшим по часам, движущимся вместе с протоном, соотношением
Dt =
________ Ц1 - v2/c2
Dt = g-1 Dt.
В условиях задачи g = 1011. Поэтому
Dt = 10-11·105·32·106c = 32 c.
Ответ: Протон по своим часам пересекает Галактику за 32 секунды!
Теория относительности пришла к выводу,
что все тела при их движении
испытывают лоренцево сокращение. Означает ли это, что наблюдатель, движущийся
с релятивистской скоростью, видит все предметы сплющенными в направлении
движения?
Пусть куб фотографируется издалека (в параллельном пучке света).
Лучи, испущенные разными точками ребра AўBў одновременно в системе
куба Sў, достигнут фотопластинки тоже одновременно. Длина изображения
будет такой же, как и вслучае неподвижного куба и будет определяться только
тем сокращением, которое обусловлено расстоянием до предмета и фокусным
расстоянием до предмета. Для дальнейшего удобно принять эту длину за единицу.
У неподвижного куба изображение ребра EўFў в параллельных лучах
сливается с изображением AўBў. В случае движущегося куба лучи
от ребра EўFў должны быть испущены раньше на время Dt = l0/c, тогда достигнут фотопластинки одновременно с лучами от AўBў.
В момент испускания света ребро EўFў занимало положение
Eў1Fў1 и до испускания света ребром AўBў проделало путь,
равный Vl0/c. Следовательно, теперь изображения ребер AўBў и
EўFў не наложатся, изображения ребер AўBў и BўFў
будут иметь длину V/c = b, а не нуль, как у неподвижного куба, и вся
грань AўBўFўEў сфотографируется в виде прямоугольника ABFE
с отношением сторон, равным 1/b.
Лучи, создающие изображение ребер AўBў и СўDў,
испускаются кубом одновременно в системе S. В системе Sў, как
следует из преобразований Лоренца (), лучи с ребра СўDў,
должны быть испущены раньше, чем с ребра AўBў, на время
Dt = [Ц(1 - V2/c2)] Vl/c2, где l - длина ребер
BўCў и AўDў в системе S.
Можно считать, что в системе Sў на расстоянии Dxў = l0
произошли два события, причем одно из них на Dtў позже другого.
Расстояние между ними в системе S равно
l є Dx =
_______ Ц1 -V2/c2
(Dxў - V Dtў) = l0
ж Ц
1 - b2
.
Ребра BўCў и AўDў, параллельные направлению движения,
испытали, таким образом, обычное лоренцево сокращение. Их изображения (с
учетом сокращения в фотопластинке) будут иметь длины Ц{1 - b2}.
Итак, на фотографии получится задняя ( по отношению к направлению движения)
часть куба; т.е. куб будет выглядеть на фотографии повернутым на угол
a = arcsin (V/c) (см. правую часть Рис. 13), но его форма не будет
искажена. Если бы при больших скоростях "работали" законы классической физики
(время было бы абсолютным и выполнялись преобразования Галилея), то
на фотографии ребра AўDў, и BўCў не испытали бы лоренцева
сокращения, отрезки AD и BC имели бы на фотографии длины, равные 1, и
форма куба была бы искажена.
В неподвижной системе отсчета две частицы движутся со скоростями
1 = (v1, 0, 0) и 2 = (v1, 0, 0).
Найти относительную скорость частиц 0.
Решение:
Пусть система Sў движется со скоростью [(v)\vec]1. Тогда относительная
скорость - скорость второй частицы в системе отсчета Sў.
Полагая в (7) vx = v2, vxў = v0, V = v1
получим
v2 = (v1 + v2)/(1 + v1v0/c2)- 1,
откуда
v0 =
v2 - v1
1 - v1v2/c2
.
Если, например, v1 = 0,98 c, v2 = 0,99 c, то v0 = c/3.
Два протона движутся навстречу друг другу со скоростями 1 = (-v, 0, 0), 2 = (v, 0, 0).
Найти соотношение между
кинетической энергией их относительного движения T0 и кинетической энергией
протона T.
Решение:
1 - ый способ.
Согласно предыдущей задаче относительная скорость
v0 = 2v/(1 + v2/c2).
Далее находим
T0 = mpc2
й к
л
ж з
и
1 -
v02c2
ц ч
ш
- 1/2
- 1
щ ъ
ы
= mpc2
2 v2
1 - v2/c2
= 4 T +
2 T2mpc2
.
(24)
2 - ой способ.
Так как масса - инвариант, то правую часть формулы (23)
можно в любой удобной инерциальной системе отсчета, например, в исходной
системе и в системе покоя
первого протона, в которой Eў1 = mpc2, ў1 = 0.
Приравнивая два такие выражения, получим уравнение
из которого слудует ответ, полученный в первом варианте решения, т.е.
формула (24).
В этой задаче получен очень важный результат для современной физики
высоких энергий. Ньютоновская механика предсказывает, что можно получить
лишь четырехкратный выигрыш в энергии, когда используют встречные пучки
частиц, т.к. здесь
всегда T0 = 4 T. В релятивистской области энергий, когда
T >> mpc2,
получают существенное увеличение энергии: T0 ~ 2 T2/(mpc2).
Так на ускорителе "Теватрон", (Батавия, США) разгоняют встречные пучки
протонов и антипротонов до энергий ~ 0,9 ТэВ (1 ТэВ = 1012 эВ). При
этом энергия относительного движения T0 ~ 2·103 ТэВ.
1 = (v1, 0, 0) и 
ў1 = 0.
