На экзамене по математике поступающий в университет должен показать:
а) четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных
программой, умение доказать эти теоремы;
б) умение точно и сжато выражать математическую мысль в устном
и письменном изложении, использовать соответствующую символику;
в) уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными
программой, умение применять их при решении задач.
Программа по математике состоит из трех разделов. Первый
из них представляет собой перечень основных математических понятий
и факторов, которыми должен владеть поступающий (уметь правильно их использовать
при решении задач, ссылаться при доказательстве теорем).
Во втором разделе указаны
теоремы, которые надо уметь доказывать. В соответствии с его содержанием составлены
билеты устного экзамена по математике для поступающих на механико-математический
факультет. В третьем разделе перечисленны основные математические умения
и навыки, которыми должен владеть экзаменуемый.
1. Натуральные числа (N).
Простые и составные числа. Делитель, кратное. Общий наибольший делитель.
Общее наименьшее кратное.
2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
3. Целые числа (Z). Рациональные числа , их сложение, вычитание, умножение
и деление. Сравнение рациональных чисел.
4. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
6. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формула сокращенного умножения.
7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
8. Логарифмы, их свойства.
9. Одночлен и многочлен.
10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
11. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значения
функции.
12. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность,
нечетность.
13. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие
экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
14. Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной
y=ax2+bx+c степенной
y=axn (n О Z),
y=k/x, показательной y=ax,
a >0, логарифмической, тригонометрических функций
(y=sinx; y=cosx; y=tgx),
арифметического корня
15. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнений. Решение системы.
16. Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.
17. Система уравнений и неравенств. Решения системы.
18. Арифметическая и геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и суммы
первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го
члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
19. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
20. Преобразование в произведение сумм
sinx±sin y,
cosx± cos y.
21. Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
22. Производные функции y=sinx, y=cosx,
y=tgx,
y=xn (n О Z),
y=axy=log ax.
Геометрия
1. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла.
Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
2. Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.
3. Векторы. Операции над векторами.
4. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
5. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольника.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
6. Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, касательная к окружности. Дуга
окружности. Сектор.
8. Центральные и вписанные
углы.
9. Формула площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба,
квадрата, трапеции.
10. Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
Площадь круга и площадь сектора.
11. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
12. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
13. Параллельность прямой и плоскости.
14. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
15.Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность
двух плоскостей.
16. Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и
наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида.
Параллелепипеды, их виды.
17. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус
сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
18. Формула объема параллелепипеда.
19. Формулы площади поверхности и объема призмы.
20. Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
21. Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
22. Формулы площади поверхности и объема конуса.
23. Формулы объема шара.
24. Формулы площади сферы.
1. Свойства функции y=ax+b и ее график.
2. Свойства функции y=k/x и ее график.
3. Свойства функции
y=ax2+bx+c и ее график.
4. Свойства функции y=|x|
5. Формула корней квадратного уравнения.
6. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
7. Свойства числовых неравенств.
8. Логарифм произведения, степени, частного.
9. Определение и свойства функции
y=sin x и y=cos x, их графики.
10. Определение и свойства функции y=tg x и ее график.
11. Решение уравнений вида sin x=a, cos x=a,
tg x=a. Обратные тригонометрические функции и их графики.
12. Формулы приведения.
13. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
14. Тригонометрические функции двойного аргумента.
15. Производная сумма двух функций.
Геометрия
1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
3. Признаки параллельности прямых.
4. Сумма углов треугольника.
5. Признаки параллелограмма.
6. Окружность, описанная около треугольника.
7. Окружность, вписанная в треугольник.
8. Касательная к окружности и ее свойство.
9. Измерение угла, вписанного в окружность.
10. Признаки подобия треугольника.
11. Теорема Пифагора.
12. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
13. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
14. Признак параллельности прямой и плоскости.
15. Признак параллельности плоскостей.
16. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
17. Перпендикулярность двух плоскостей.
18. Теоремы о параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
Экзаменующийся должен уметь:
1. Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и
результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или таблицами для
производства вычислений.
2. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих
переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и
тригонометрические функции.
3. Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической
и тригонометрической функций.
4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства,
приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения
и неравенства, содержащие абсолютную величину, степенные, показательные,
логарифмические и тригонометрические функции.
5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
6. Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие
построения на плоскости и в пространстве.
7. Использовать геометрические представления при решении алгебраических
задач, а методы алгебры и тригонометрии - при решении геометрических задач.
8. Проводить на плоскости и в пространстве операции над векторами (сложение и
вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться свойствами
этих операций.
9. Пользоваться понятием производной при исследовании функции на возрастание
(убывание), на экстремумы и при построении графиков функции.
[1] Варианты вступительных экзаменов по математике в СамГУ в 1994
г.Самара: Самарский университет, 1995.
[2] Варианты вступительных экзаменов по математике в СамГУ в 1995
г.Самара: Самарский университет, 1996.
[3] Варианты вступительных экзаменов по математике в СамГУ в 1996
г.Самара: Самарский государственный университет, 1997.
[4] Варианты вступительных экзаменов по математике в СамГУ в
1997 и 1998 годах(Естественнонаучные специальности)
г.Самара: Самарский государственный университет, 1999.
[5] Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Х класс. М.: Просвещение, 1989.
[6] Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. ХI класс. М.: Просвещение, 1991.
[7] Журнал “Квант”. Раздел “Практикум абитуриента”.
[8] Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. М.: Наука, 1992.
[9] Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под ред.
М.И. Сканави. М.: Высшая школа, 1992 (или др. изд.)
[10] Пособие для старшеклассников. Части 1, 2: Математика;
Самарский высший колледж: Транзит. Самара, 1992.
