Будем исходить из следующей системы функциональных уравнений:

Предположим, что функции S(x) и C(x), удовлетворяющие соотношениям (1) - (2), существуют.

Теорема 2.1. Любое нетривиальное решение системы (1) обладает следующими свойствами:

1) S(0) = 0, C(0) = 1,

2) |S(x) Ј 1,|, |C(x) Ј 1|,

3) S(-x) = -S(x), C(-x) = C(x),

4) справедливы формулы сложения :

1) Полагая x = y = 0 в соотношениях (1), будем иметь: S(0) = 0, C(0) = C²(0), откуда следует, что C(0) = 0 или C(0) = 1. Очевидно при C(0) = 0, S(x) є 0, C(x) є 0. Поэтому будем рассматривать систему уравнений (1) при

2) Полагая x = y в равенстве (1), получим:

3) Полагая в равенстве (1) x = 0, с учетом (3) получим: S(-y) = S(0)C(y) - C(0)S(y). Отсюда следует, что

4) Теперь легко вывести формулы сложения для функций S(x) и C(x). Действительно, заменяя y через -y в соотношениях (1), используя четность и нечетность C(x) и S(x) (7)-(8) получим:

Из (10) и (15) приходим к формулам двойного аргумента для рассматриваемых функций:

В самом деле, в силу (3):

Теорема 2.2. Функции S(x) и C(x) являются периодическими и число 4a - есть наименьший положительный период этих функций.

Доказательство. Применяя доказанные выше формулы (13) и (14):

Если k = a, то S(a+x) = S(x). С другой стороны, S(a+x) = C(x) или S(x) є C(x), чего не может быть.

Положим x = 0 в равенстве (23). Тогда получим: S(k) = S(0).

Число k не может принадлежать интервалу (0, a), так как в противном случае мы пришли бы в противоречие с условием (2).

Число k не может принадлежать интервалу (a, 2a), так как в противном случае число 2a-k принадлежало бы интервалу (0, a) и мы имели бы, согласно (7)-(8), (13)-(14): S(2a-k) = ј = -S(-k) = S(k) = 0, что противоречит условию (2).

Число k не может принадлежать интервалу (2a, 4a), так как в противном случае число 4a-k принадлежало бы интервалу (0, 2a), и мы имели бы:

Итак, число 4a является наименьшим положительным периодом для функции S(x).

Для функции С(x) доказывается аналогично. Поэтому число 4a - также является наименьшим положительным периодом функции C(x).

Теорема 2.3. Функция C(x) положительна в интервале (0, a).

Доказательство. Если 0 < x < a, то 0 < a-x < a. Допустим, что C(x) Ј 0, тогда S(a-x) Ј 0, а это противоречит условию (2). Итак, C(x) > 0, если 0 < x < a.

Теорема 2.4. Функция S(x) возрастает, а функция C(x) убывает на сегменте [0, a].

Доказательство. Пусть числа x₁ и x₂ принадлежат сегменту [0, a] и x₁ > x₂. Тогда будем иметь:

Теорема 2.5. При любом натуральном n имеют место равенства:

(число радикалов равно n-1).

(число радикалов равно n-1).

Доказательство. Применим метод математической индукции. Действительно:

Допустим, что равенство (24) справедливо при n = k. Имеем, стало быть:

(число радикалов равно k-1). Имеем далее:

Следовательно,

(число радикалов равно k). Итак, равенство (24) справедливо и при n = k+1. Так как это равенство верно и при n = 1, то следовательно, оно верно при любом натуральном n.

Аналогично доказывается (25).

Теорема 2.6. Если n - натуральное число, то

Доказательство. Из условия леммы 1 (см. приложение) следует

Теорема 2.7. Если n - натуральное число, то

Доказательство. Действительно, сохраняя обозначение предыдущего пункта, будем иметь:

Теорема 2.8.

Доказательство.

достаточно найти

Теорема 2.9. Функции C(x) и S(x) непрерывны.

Доказательство. 1) Для функции C(x) используя (18), имеем:

2) Для функции S(x) используя (16), имеем:

Теорема 2.10. Если число x принадлежит интервалу (0, a), то

Доказательство. Докажем сначала справедливость этого неравенства для того случая, когда

В лемме 2 (см. приложение) мы имели:

(число радикалов равно n - 1).

Отсюда следует:

(в левой части n - 1 радикалов).

Таким образом, используя (25) нетрудно показать, что

Если m = 1, то неравенство

Так как

Пусть тогда

Обратимся к формулам (11)-(14). Они аналогичны формулам приведения для функций sinx и cosx. Формулы (15)-(22) также имеют аналоги в тригонометрии. Докажем, что построенные решения есть тригонометрические функции.

Теорема 2.11. При a = [(p)/ 2]:

Доказательство. Докажем, что для любого действительного числа x имеют место равенства: S(x) є sinx, C(x) є cosx. Это справедливо для того случая, когда

  

Аналогично тому, как это было сделано выше, мы доказываем, что

(n-1 радикалов);

(n-1 радикалов).

Сравнивая эти формулы с формулами:

будем иметь:

Отсюда и следует, что S(x) = sin(x). Аналогично доказывается, что C(x) = cos(x). Далее нетрудно вывести общее решение системы (1) для любого a:

Определение 5. Решения системы функциональных уравнений (1) называются тригонометрическими синусом и косинусом и обозначаются соответственно: