Первый тур

5-й класс

• 1. Сумма двух чисел больше одного из них на 19 и больше другого на 98. Чему равна эта сумма?
• 2. Василиса Премудрая и Змей Горыныч играли в "крестики-нолики". После того как Василиса сделала очередной ход, игровое поле выглядело так, как показано на рисунке.

Кто играл крестиками и кто выиграет эту партию? (В игре первый ход всегда делают крестики.)

• 3. На доске нарисован отрезок AB длиной 1998. Петя поставил две точки C и D так, что CA=CB=999, DA=1, DB=1999. Чему равно расстояние между точками C и D?
• 4. Аня, Боря, Вера и Гена всего поймали 10 рыбок, причем каждый из детей поймал разное количество рыбок. Аня поймала больше всех, а Вера — меньше всех. Кто поймал больше рыбок, мальчики или девочки?
• 5. Расставьте в кружочках числа от 1 до 10 так, чтобы суммы чисел в каждом из трех кругов были равны.

• 6. Какая цифра в выражении 9A:1A=A заменена буквой A? Укажите все такие значения A и покажите, что других нет.

6-й класс

• 1. Квадрат со стороной 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см и выстроили их в один ряд в виде полосы шириной 1 см. Какой длины получилась полоса?
• 2. Винни-Пуху подарили в день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?
• 3. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 подбери такие три числа, сумма которых будет равна 50.
• 4. Каждым ударом силач Шварценеггер разбивает кусок бетона на четыре части. На сколько кусков он расколол бетонную плиту, если сделал 666 ударов?
• 5. Можно ли в пустых клетках таблицы 3x3, изображенной на рисунке, расставить числа 3, 5 и 12 так, чтобы получился магический квадрат, т.е. такая таблица, у которой сумма чисел в любой строке, любом столбце и на диагоналях одна и та же. Ответ объясните.

• 6. Круглая поляна обсажена деревьями. Леший и кикимора пошли вокруг поляны, считая деревья. Они идут в одном направлении, но начали в разных местах. Дерево, которое у кикиморы было седьмым, у лешего было двадцатым, а дерево, которое у лешего было седьмым, у кикиморы было девяносто третьим. Сколько деревьев растет вокруг поляны? Ответ объясните.

7-й класс

• 1. Мальчик каждую букву своего имени заменил порядковым номером этой буквы в русском алфавите. Получилось число 510141. Как звали мальчика?
• 2. От кончика носа дяди Гоши к переносице ползет бешеный муравей. Каждый раз он сначала поднимается на 3 мм, а потом спускается на 1 мм. До переносицы муравей дополз через 2,5 минуты. Узнай длину носа дяди Гоши, если известно, что за 1 сек муравей проползает 1 мм.
• 3. Сколько всего точек нарисовано на всех костях полного набора домино?
• 4. Фигура состоит из 12 равных квадратов (см. рисунок). Раздели эту фигуру на четыре равные части.

• 5. Цифры трехзначного числа A записали в обратном порядке и получили число B. Может ли число, равное сумме A и B, состоять только из нечетных цифр?
• 6. Прямоугольник разделен на четыре прямоугольные части двумя разрезами, параллельными его сторонам. Площадь левой верхней части равна 3 кв. см, правой верхней — 2,4 кв. см, левой нижней — 2,5 кв. см. Найдите площадь правой нижней части. Ответ обоснуйте.

Второй тур

5–6-е классы

• 1. В магическом квадрате сумма чисел в каждом ряду, колонке и на диагоналях должна быть одинаковой. Найдите число N.

• 2. На столе стоят 10 стаканов. Из них 9 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

• 3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр 12 см. Найдите его площадь.

• 4. Введем на шахматной доске 8x8 новую фигуру "хромой конь". Эта фигура может ходить либо как обычный шахматный конь, либо передвигаться на соседнюю клетку по горизонтали или по вертикали. "Хромой конь" вышел из угловой клетки и за несколько ходов дохромал до противоположной угловой клетки. Докажите, что он сделал четное число ходов.

Выводные задачи

• 5. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 мин, а Карлсон — в два раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
• 6. На рисунке изображен треугольник из шести кружков, в котором расставлены числа от 1 до 6 так, что каждое число в кружке не первого ряда равно разности чисел в двух кружках, стоящих над ним. Расставьте в треугольнике из десяти кружков числа от 1 до 10, чтобы так же выполнялось указанное свойство.

7-й класс

• 1. Говорят, что Тортила отдала золотой ключик Буратино не так просто,а вынесла три коробочки. На красной коробочке было написано: "Здесь лежит золотой ключик", на синей — "Зеленая коробочка пуста", а на зеленой — " Здесь сидит гадюка ". Тортила прочла надписи и сказала: "Действительно, в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой гадюка,а третья пуста, но все надписи неверны". Где же лежит золотой ключик?
• 2. На столе выложены карточки, на которых написаны цифры:

Можно ли убрать 12 из них так, чтобы при сложении цифр на оставшихся трех получилось 20?

• 3. Какая последняя цифра в записи числа 19¹⁰+98¹⁰? Докажите, что это число составное.
• 4. Из куска проволоки согнули прямоугольник, у которого длина вдвое больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из нее другой прямоугольник с длиной на 10% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?

Выводные задачи

• 5. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 апельсинов, причем каждому досталось хотя бы по одному апельсину. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных; Сова и Кролик съели вместе 45 апельсинов. Сколько апельсинов съел Пятачок?
• 6. При каких натуральных n дробь (n+19)/(n–98) является целым числом?