Списки победителей по Москве смотрите здесь.

а)(2) Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной. В каком отношении делятся диагонали получившегося четырехугольника их точкой пересечения?

б)(2) Бумажный прямоугольный треугольник площади 1 перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной. Полученный четырехугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.

Задача 2. Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

а)(2) Может ли случиться, что d = 2?

б)(2) Может ли случиться, что d - простое число? (Простым называется целое число, большее 1, которое не имеет делителей, отличных от него самого и единицы; вот первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, ... .)

Задача 3.(4) На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите n. (Укажите все возможности.)

Задача 4.(4) В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная - 24 оборота, причем, как обычно, минутная стрелка длинее часовой (вобычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная - 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления итальянских часов, которые встречаются и на обычных часах. Сколько таких положений существует на итальянских часах в течение суток? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах).

Задача 5.(4) Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2*1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причем плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6*6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Задача 2.(4) Докажите, что существует бесконечно много целых положительных нечетных n, для которых число 2ⁿ + n - составное. (Составным называется целое положительное число, которое имеет делители, отличные от него самого и единицы.)

Задача 3.(4) В пространстве проведено n плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите n. (Укажите все возможности.)

Задача 4.(4) Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся), так что выполняются два условия:
а) длины отрезков - 1, 2, 3, ... , 50;
б) концы отрезков - это все целые точки от 1 до 100 включительно?

Задача 5.(4) Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2*1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причем плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8x8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Задача 2. Пусть ABC - остроугольный треугольник, C' и A' - произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' - середина стороны AC.

а)(2) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.

б)(2) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Задача 3.(5) 100 гирек 1, 2, ..., 100 грамм разложили на две чаши весов так, что есть равновесие. Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

Задача 4.

а)(3) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8*8 стоит по фишке: внизу - белые, вверху - черные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все черные фишки стояли внизу, а белые - вверху?

б)(4) Тот же вопрос для доски 7*7.

Задача 5.(8) Неутомимые Фома и Ерема строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема - вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Задача 6.(9) Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Покажите, что в любом случае можно разрезать на найденное Вами число частей, а не меньшее число частей в некоторых случаях разрезать нельзя.)

Задача 2. На прямоугольном листе бумаги отмечены

а)(2) несколько точек на одной прямой;

б)(3) три точки.

Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем шилом проколоть сложенный лист насквозь. Докажите, что можно добиться, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

Задача 3.(6) Неутомимые Фома и Ерема строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема - вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Задача 4. Точки K, L на сторонах AC, CB треугольника ABC - это точки, в которых вневписанные окружности касаются сторон. Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB,

а)(3) делит периметр треугольника ABC пополам;

б)(3) параллельна биссектрисе угла ACB.

Задача 4.

а)(4) 100 гирек 1, 2, ..., 100 грамм разложили на две чаши весов так, что есть равновесие. Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

б)(4) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n грамм можно разделить на две части, равные по весу. Верно ли, что для любого такого n, большего трех, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Задача 6.(8) На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные. Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Задача 7.(8) Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдется n граней с одинаковым числом сторон.

	InfoArt
	Все документы iSearch

Поиск по сайту