Лемма 1. Для последовательности

где число радикалов равно n

Доказательство. Легко видеть, что последовательность ограничена и монотонно возрастает. Положим

Общий член этой последовательности равен (z_n)². В то же время общий член этой последовательности равен z_n-1+2. Следовательно,

Лемма 2.

Доказательство. Обозначим

(число радикалов равно n). Отсюда:

(число радикалов в числителе равно n+1, в знаменателе n).

Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на число

(число радикалов равно n+1); получим

так как выше в лемме 1 было доказано, что

Числа u_n положительны, следовательно u_n+1 > u_n. Таким образом последовательность монотонно возрастающая.

Рассмотрим далее последовательность:

(в числителе и знаменателе по n радикалов).

Аналогично предыдущему доказываем, что

При любом n u_n < v_n. В самом деле

(число радикалов в числителе равно n).

Так как

то будем иметь

Следовательно u_n имеет некоторый предел С.

Очевидно, что с геометрической точки зрения 2u_n и 2v_n есть соответственно периметры правильных вписанного и описанного в окружность радиуса R = 1 n -угольников. Следовательно С - отношение длины окружности к диаметру, и C = p.