1. Может ли число, оканчивающееся на 1999, быть квадратом натурального числа?

2. Трехголовый Змей Горыныч праздновал свой день рождения. Его головы по очереди лакомились именинными пирогами и за 15 минут съели два одинаковых пирога. Известно, что каждая голова ела столько времени, сколько понадобилось бы двум другим, чтобы вместе съесть один такой же пирог. За сколько минут три головы Змея Горыныча съели бы вместе один пирог?

3. Найдите сумму коэффициентов многочлена, полученного после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении:
а) (7x – 6)⁴ – 1;
б) (7х – 6)¹⁹⁹⁹ – 1.

4. Генерал хочет расположить семь зенитных установок так, чтобы среди любых трех из них нашлось две установки, расстояние между которыми ровно 10 километров. Помогите генералу решить эту задачу.

5. Гулливер, рост которого равен 999 лилиметров, строит башню из кубиков. Первый кубик имеет высоту 1/2 лиликилометра, второй – 1/4 лиликилометра, третий – 1/8 лиликилометра и т.д. Сколько кубиков будет в башне, когда ее высота превысит рост Гулливера. (1 лиликилометр равен 1000 лилиметров).

6. Известно, что в любом пятиугольнике можно выбрать три диагонали, из которых можно составить треугольник. Существует ли пятиугольник, в котором такие диагонали можно выбрать единственным способом.

7. Известно, что для натуральных чисел a и b выполняется равенство 19a = 99b. Может ли a + b быть простым числом?

8. Витя задумал 5 целых чисел и сообщил Ване все их попарные суммы:
0, 1, 5, 7, 11, 12, 18, 24, 25, 29.
Помогите Ване отгадать задуманные числа.

9. В квадрате 3 ґ 3 расставлены числа так, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой большой диагонали равны 0. Известно, что сумма квадратов чисел верхней строки равна n. Чему может быть равна сумма квадратов чисел нижней строки?

10. На окружности отмечено N точек. Два игрока играют в такую игру: первый игрок соединяет две из этих точек хордой, из конца которой второй игрок проводит хорду в одну из оставшихся точек так, чтобы не пересечь уже проведенную хорду. Затем такой же “ход” делает первый игрок — проводит из конца второй хорды новую хорду в одну из оставшихся точек так, чтобы она не пересекала ни одну из уже проведенных. Проигрывает тот, кто не может сделать такой “ход”. Кто выигрываетпри правильной игре? (Хордой называется отрезок, концы которого лежат на данной окружности)