"Очереди есть бедствие нашей эпохи"
(кто-то это наверняка сказал)

Первые математические работы по системам обслуживания появились в начале двадцатого века. Они были тесно связаны с практическими задачами, касавшимися вопросов обслуживания телефонных линий, определения оптимального количества касс и продавцов в торговых предприятиях, выработки правил расчета запасов в магазинах, достаточных для их бесперебойной работы, и других. Среди этих работ особо важное место занимают исследования датского ученого А.К.Эрланга (1878-1929). Благодаря развитию теории вероятностей, к середине двадцатого столетия теория систем обслуживания получила хороший математический фундамент. Среди фамилий ученых, внесших наибольший вклад в теорию очередей, следует назвать такие, как Ф.Поллачек, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко, Ж.Ф.С.Кингман, Р.М.Лойнес, С.М.Росс, В.Л.Смит, Г.Коэн, А.А.Боровков, У.Прабху, П.Франкен, В.А.Малышев.

В последние годы произошел бурный всплеск исследований в области теории систем обслуживания. Научные работы, в которых одновременно встречаются слова "очередь" и "случайность", составляют в мире среди математических статей за 1980-1995 годы - 13 процентов ; среди диссертаций за 1980-1995 годы - 24 процента ; среди работ, опубликованных в научных и инженерных журналах и сборниках в областях физики, электроники, вычислительных методов и информационных технологий - 60 процентов (данные по индексу INSPEC, разработанному американским и немецким обществами электронной инженерии).

В практике возникают новые и новые задачи, связанные с очередями и требующие математического решения, что способствует появлению новых и развитию известных направлений исследований. Например, с каждым годом компьютерные системы работают все быстрее и быстрее, но их очереди становятся все длиннее и длиннее. Поэтому стали актуальными проблемы, связанные со "взаимодействием" очередей в течение длительных промежутков времени. А это привело к интенсивному развитию направления, получившего название "теория больших уклонений" ("large deviation theory").

Статьи по математической теории систем обслуживания побликуются в десятках различных журналов. С 1986 года издается специализированный математический журнал "Queueing Systems" ("Системы очередей").

В любой системе обслуживания предполагается наличие объектов двух типов: обслуживающих устройств (другие названия: обслуживающие приборы, серверы, каналы и т.д.) и клиентов (другие названия: заявки, вызовы, требования и т.д.), нуждающихся в обслуживании. Мы будем использовать термины сервер и вызов. Правило или алгоритм взаимодействия вызовов и серверов мы будем называть дисциплиной обслуживания, или дисциплиной. Отметим, что, вообще говоря, вызову может требоваться несколько обслуживаний на одном или нескольких серверах. Обычно термин "система обслуживания" (по-английски: "queueing system") употребляется при рассмотрении относительно простых моделей, в которых каждый вызов может иметь только одно обслуживание на некотором сервере. Если же вызовы должны пройти обслуживания на ряде приборов в соответствии с заданными маршрутами, то принято говорить о "сети обслуживания" (по английски: "queueing network"). Другими словами, сеть - это просто сложная система.

Число моделей систем (сетей) обслуживания, используемых на практике и изучающихся в теории, очень и очень велико. Даже для того, чтобы схематично описать основные их типы, требуется не один десяток страниц. Поэтому в данной работе мы рассмотрим только три "характерных" вида систем обслуживания: системы с очередью, системы множественного доступа и системы поллинга. При этом будем предполагать, что эти системы являются "открытыми" для вызовов, т.е. вызовы поступают в систему извне (в некотором "входном потоке"), каждому из них требуется конечное число обслуживаний, по окончании последнего из которых вызов навсегда покидает систему; а дисциплины обслуживания таковы, что в любой момент времени каждый сервер может обслуживать не более одного вызова (другими словами, не допускается "параллельного" обслуживания двух и более вызовов одним сервером).

Во всех случаях мы обсудим условия, которые гарантируют стабильную работу системы.

Так как процесс поступления и обслуживания вызовов могут зависеть от множества факторов, носящих случайный характер, то они тоже являются случайными, или стохастическими.