В этом разделе мы приводим основные понятия и утверждения теории вероятностей, использующиеся в последующих параграфах. Частично они содержатся во вводной части работы А.Е.Родкиной "О некоторых понятиях и проблемах финансовой математики" (см. СОЖ, 1998, N. 6, с. 122-127).

Для математически строгого определения понятий теории вероятностей требуется хорошо развитый математический аппарат. Поэтому ниже мы предложим неформальное определение случайного события и дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений. Затем определим понятия математического ожидания и дисперсии, обсудим свойства независимости и одинаковой распределенности случайных величин и сформулируем две основные теоремы теории вероятностей.

Если событие A при некотором испытании может как произойти, так и не произойти, то мы назовем это событие случайным. Случайному событию приписывается некоторое число между 0 и 1, называющееся его вероятностью и обозначающееся через P(A). Например, если подбрасывается симметричная монета, то событие A = {выпадает герб} является случайным, и ему естественно приписать вероятность

Пусть даны полная группа событий A₁, A₂, ј, A_k с вероятностями

Дискретная случайная величина X - это величина, принимающая значение x_i, если происходит событие A_i (то есть с вероятностью p_i). Соответствие между x_i и p_i выражается формулой P(X = x_i ) = p_i, читаемой как:

Для любого числа d можно определить вероятность того, что X примет значение, не меньшее чем d:

Математическим ожиданием, или средним M(X) случайной величины X называется число

Среднее квадратическое отклонение (или - неформально - средний разброс) случайной величины X есть квадратный корень из дисперсии: s = Ц(D(X)).

Например, если X - значение, выпадающее при случайном бросании кубика, то возможных значений только шесть, от 1 до 6, и все шесть вероятностей p_i равны ¹/₆. Значит,

Случайная величина X называется вырожденной, если она принимает только одно значение (скажем, x) с вероятностью единица (то есть
P(X = x) = 1). Для вырожденной случайной величины

Математические ожидания и дисперсии обладают рядом хороших свойств. Например, если c - некоторое число, то случайная величина Y = X+c принимает значения x_i+c с вероятностями p_i и, следовательно,

Если случайная величина X может принимать только целые неотрицательные значения, то M(X) = е^L_{l = 1} P (X і l ). Здесь L - максимальное из возможных значений. Действительно, пусть X принимает значение 0 с вероятностью p₀, значение 1 - с вероятностью p₁, и т.д. Тогда

Несколько случайных величин называются одинаково распределенными, если их распределения совпадают (т.е. они принимают одинаковые значения с одинаковыми вероятностями). Как следствие, одинаково распределенные случайные величины имеют одинаковые средние и дисперсии.

Например, если подбросить кубик несколько раз и обозначить через X_n значение, выпадающее при n-ом подбрасывании, то эти случайные величины будут одинаково распределены.

Несколько (скажем, n) случайных величин X₁, X₂, ј, X_n называются независимыми, если вероятность того, что одновременно первая из них приняла значение c₁, вторая - значение c₂, ј, n-ая - значение c_n, совпадает с произведением вероятностей

Например, если мы подбросим два одинаковых кубика по разу, то всего различных исходов 36 (каждому варианту выпадения первого кубика может соответствовать 6 вариантов выпадения второго), и все они "равновозможны", т.е. вероятность того, что на первом выпадет число c₁, а на втором - c₂ (где c₁, c₂ - любые целые числа от 1 до 6), равна ¹/₃₆, что совпадает с произведением ¹/₆·¹/₆. Значит, соответствующие случайные величины независимы.

Можно также ввести понятия (дискретной) случайной величины, принимающей бесконечное (счетное) число значений x₁, x₂, x₃, ј, а также ее математического ожидания и дисперсии. При этом нужно лишь определить, что означают бесконечные суммы

Пример 2.1.
Мы приведем один пример такой случайной величины (который потребуется в следующем параграфе) и посчитаем ее математическое ожидание. Рассмотрим последовательность независимых бросаний монеты, в каждом из которых герб выпадает с вероятностью p, а решетка - с вероятностью q = 1-p. Будем считать, что 0 < p < 1. Пусть Y - случайная величина, означающая номер испытания, при котором герб выпадает в первый раз.

Найдем вероятность p_l = P(Y = l ) при всех l = 1,2, ј. Ясно, что p₁ = p. Далее, событие {Y = 2} означает, что одновременно при первом бросании выпадает решетка и при втором - герб. И так как испытания независимы, то p₂ = qp. Совершенно аналогично, при каждом l > 2 событие {Y = l } означает, что при каждом из первых (l -1) бросаний выпадает решетка, а при l-ом бросании - герб. И из независимости испытаний следует, что p_l = q ^{l -1}p. Значит, случайная величина Y принимает значение x₁ = 1 с вероятностью p₁ = p, значение x₂ = 2 с вероятностью p₂ и так далее. Из школьного курса вы знаете, что сумма геометрической прогрессии 1 + q + q² + ј равна 1 / (1-q) = ¹/_p . Поэтому

Пусть X₁, X₂, ј, X_n - набор из независимых, одинаково распределенных случайных величин. Обозначим через a их общее среднее, через s - средний разброс и через S_n = X₁+X₂+ ј +X_n- их сумму. Ниже формулируются два основных утверждения теории вероятностей.

Теорема 2.1. Закон больших чисел, ЗБЧ.
При всех достаточно больших n

Например, если будем бросать кубик достаточно много раз и складывать выпадающие значения, то при делении полученной суммы на количество испытаний получим число, очень близкое к 3,5.

Понятие "закон больших чисел" хорошо известно не только математикам - его можно найти, скажем, и в философском словаре, где оно трактуется так: "с ростом числа испытаний (наблюдений) эмпирическое среднее сближается с математическим средним". Физики говорят проще и выразительнее: "среднее по времени стремится к среднему по пространству".

Пусть F(t) - функция вида

Теорема 2.2. Центральная предельная теорема, ЦПТ.
Пусть c < d - два произвольных вещественных числа. Предположим, что s > 0. Тогда при всех достаточно больших n

Часто центральную предельную теорему называют также "принципом инвариантности".

На житейский язык термин "принцип инвариантности" можно перевести как "с чего бы мы ни начали, всегда придем к одному и тому же". Один из известнейших "принципов инвариантности" звучит так: "все дороги ведут в Рим".

Действительно, каково бы ни было "индивидуальное" распределение случайных величин X_i , с ростом n исчезает влияние этой "индивидуальности" на "поведение" случайной величины

В примере с кубиками, если взять c = -3 и d = 3, то получим, что при достаточно большом числе n испытаний вероятность того, что отношение [(S_n - na) / (sЦn)] содержится в интервале (-3,3), будет не меньше, чем 1- 2 · 0,00135 = 0,9873. Если мы разрешим двойное неравенство