Результаты по олимпиаде можно посмотреть здесь.

Задача 1.
Допустим один американский доллар стоит на 30% больше, чем один канадский доллар. Американский турист в Канаде заплатил за 35-долларовый сувенир тридцать американских долларов. Какова сдача в канадских долларах?
Решения, указания, ответы
Сувенир стоит 35 канадских долларов, турист заплатил за него 30 американских долларов, что равно 1,3·30 = 39 канадским долларам. Поэтому сдача составит 4 канадских доллара.

Задача 2.
Бывают ли натуральные числа, произведение цифр которых равно 1998?
Решения, указания, ответы
Если перемножить все цифры некоторого натурального числа, то в результате получится число, каждый простой делитель которого меньше 10 (ведь каждая цифра меньше 10). Однако число 1998 имеет простой делитель 37. Значит, таких чисел не существует.

Задача 3.
На стороне AB треугольника ABC нашлась точка O, равноудаленная от всех его вершин. Докажите, что РC=90^°.
Решения, указания, ответы
По условию OA=OB=OC, поэтому AOC и BOC равнобедренные. Обозначим РAOC=a, РBOC=b, где a+b= 180^°. Из AOC находим РACO= (180^°-a)/2, а из BOC находим РBCO= (180^°-b)/2. Отсюда РC= РACO+РBCO= 180^°-(a+b)/2 = 90^°.

Задача 4.
Pасшифруйте запись (разными буквами обозначены разные цифры, одинаковыми буквами - одинаковые цифры):

Задача 5.
Докажите, что квадрат можно разрезать на 1998 меньших квадратов.
Решения, указания, ответы
На рисунке показано, как разбить единичный квадрат на 1 квадрат со стороной 998/999 и 1997 квадратов со стороной 1/999.

Задача 6.
Есть две кучи камней. В одной куче лежит 10 камней, в другой - 20. Два игрока по очереди берут любое количество камней, но только из одной кучи. Выигрывает тот кто возьмет последний камень. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его соперник?
Решения, указания, ответы
Начинающий выигрывает. Его тактика такова. Первым своим ходом он берет 10 камней из второй кучи, так что в обоих кучах становится по 10 камней. Далее на каждый ход второго игрока он отвечает симметричным ходом: если второй игрок берет n камней из первой кучи, то он берет n камней из второй кучи, и наоборот. Тогда последний камень обязательно достанется ему.

Задача 7.
Hайдите два числа a и b таких, что a не делится на b и b не делится на a, но a² делится на b и b² делится на a.
Решения, указания, ответы
Пример таких чисел: 12 и 18. Вообще, условию удовлетворяют все числа вида a = p²q, b = pq², где p и q - различные простые числа. Существует много других вариантов ответа.

Задача 8.
Решите систему уравнений:

Задача 9.
Среднее арифметическое десяти чисел равно 20. Если одно из чисел убрать, среднее арифметическое оставшихся будет равно 19. Найдите убранное число.
Решения, указания, ответы
Среднее арифметическое десяти чисел равно 20, значит, их сумма равна 10·20=200. Когда одно из чисел убрано, осталось девять чисел, среднее арифметическое которых равно 19, поэтому сумма оставшихся девяти чисел равна 9·19 = 171. Итак, было убрано число 200-171 = 29.

Задача 10.
Дано 1998 натуральных чисел. Известно, что их сумма равна их произведению. Приведите пример таких чисел.
Решения, указания, ответы
Понятно, что среди данных 1998 чисел должно быть много единиц. Поэтому искомый набор чисел будем искать в следующем виде. Обозначим первые два числа a и b, а остальные 1996 чисел положим равными 1. Тогда имеем a+b+1996 = ab, что можно переписать в виде (a-1)(b-1) = 1997. Отсюда видно, что в качестве a и b можно взять, например, числа a = 1998 и b = 2. Таким образом, условию удовлетворяет набор чисел: 1998, 2, и далее 1996 единиц.