Задача 1.
В арифметической прогрессии сумма m первых ее членов равна сумме n ее первых членов (m № n). Докажите, что в этом случае сумма ее первых m+n членов равна нулю.
Решения, указания, ответы
Имеем

Задача 2.
На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены во внешнюю сторону три полукруга. Известно, что сумма их площадей равна p. Может ли площадь данного прямоугольного треугольника превзойти 1?
Решения, указания, ответы
Пусть a, b - катеты, c - гипотенуза прямоугольного треугольника. Площади полукругов, построенных на его сторонах, равны pa²/8, pb²/8 и pc²/8 соответственно. По условию pa²/8+pb²/8+pc²/8 = p, т. е. a²+b²+c² = 8. По теореме Пифагора c² = a²+b², поэтому a²+b² = 4. Тогда площадь прямоугольного треугольника S = ab/2 Ј (a²+b²)/4 = 1 не может превзойти 1.

Задача 3.
Пусть P(x) - многочлен, дающий остаток 19 при делении на x-98 и остаток 98 при делении на x-19. Найдите остаток P(x) при делении на (x-19)(x-98).
Решения, указания, ответы
По условию P(x) = (x-98)a(x)+19 и P(x) = (x-19)b(x)+98, где a(x) и b(x) - многочлены порядка на единицу меньше порядка P(x). Отсюда P(98) = 19 и P(19) = 98 (*). Остаток P(x) при делении на (x-19)(x-98) есть многочлен первой степени, т. е. P(x) = (x-19)(x-98)c(x)+mx+n, где c(x) - многочлен порядка на 2 меньше порядка P(x) (или, возможно, нулевой многочлен). Найдем m и n, учитывая равенства (*). Имеем систему 19 = 98m+n, 98 = 19m+n, откуда m = -1, n = 117. Итак, искомый остаток равен -x+117.

Задача 4.
Сколько решений имеет система уравнений

Задача 5.
Числа от 2 до 10 разбили на три группы по три числа, после чего числа в каждой группе перемножили. Пусть A - наибольшее из трех произведений. Какое наименьшее значение может принимать A?
Решения, указания, ответы
Ответ. A_min = 162. Пусть B и C - два других произведения и A і B і C. Имеем A³ і ABC = 10!, отсюда

Задача 6.
В треугольнике ABC проведены высоты AN и BM. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку MN делит сторону AB пополам.
Решения, указания, ответы
Пусть O - середина стороны AB. В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому из прямоугольных треугольников AMB и ANB находим OM = AB/2 и ON = AB/2, т. е. OM = ON. Поскольку треугольник MON равнобедренный, то в нем высота OK является также медианой. Следовательно, прямая OK совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку MN.

Задача 7.
Числа a, b, c таковы, что ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) = 0. Докажите, что среди них есть по крайней мере два равных.
Решения, указания, ответы
Равенство задачи можно преобразовать к виду (a-b)(b-c)(c-a) = 0. Теперь утверждение задачи становится очевидным.

Задача 8.
Из чисел x и y хотя бы одно иррационально, при этом каждое из чисел x²-y, y²-x, x+y рационально. Найдите все такие числа x, y.
Решения, указания, ответы
Пусть r = (x²-y)-(y²-x) = (x-y)(x+y+1). Число r рационально как разность двух рациональных чисел. Число x+y+1 также рационально. Покажем, что x+y+1 = 0. Если бы было x+y+1 № 0, то получили бы, что число x-y = r/(x+y+1) рационально. Но числа x+y и x-y оба являются рациональными только в том случае, если x и y также рациональны, что противоречит условию. Итак, x+y = -1. Тогда x²-y = x²-(-1-x) = x²+x+1 и y²-x = (x+1)²-x = x²+x+1. Теперь задача сводится к нахождению иррациональных чисел x таких, что x²+x+1 рационально. Число x²+x+1 рационально, когда (x+1/2)² = (x²+x+1)-3/4 рационально, т. е. x+1/2 = ±Цq, где q > 0 - рациональное число, не являющееся квадратом другого рационального числа. Таким образом, условию удовлетворяют все числа x, y такие, что x = -1/2±Цq, y = -1/2-±Цq, q № p², p,q О Q.

Задача 9.
Точка (x,y) на координатной плоскости удалена от точки (2,2) на расстояние, не превосходящее Ц6. Докажите, что тогда выполнено неравенство

Докажем справедливость неравенства задачи для положительных x и y при условии, что оба выражения в скобках в его левой части также положительны. Поскольку

Приведем также другое решение этой задачи. Аналогично, покажем, что выражения в скобках в левой части неравенства не могут быть оба отрицательны. Складывая неравенства 4y < x²+1 и 4x < y²+1, получим x²-4x+y²-4y+2 > 0, откуда (x-2)²+(y-2)² > 6. Значит, точка (x,y) лежит вне окружности с центром (2,2) и радиусом Ц6, что противоречит условию. Так что можно считать, что выражения в скобках оба положительны. Воспользуемся теперь неравенством

Задача 10.
10 человек хотят при помощи двухместного мотоцикла преодолеть расстояние 60 км. За какое наименьшее время они смогут это сделать? Скорость мотоцикла 50 км/ч, а скорость пешехода 5 км/ч.
Решения, указания, ответы
Ответ. 7 ч 36 мин. Присвоим каждому из 10 человек номера с 1 по 10 и будем считать, что мотоциклом все время управляет человек под номером 1. Пусть x₁(t), x₂(t), ј, x₁₀(t) - координата (в км) соответственно 1-го, 2-го, ј, 10-го человека в момент времени t. В начальный момент x₁ = x₂ = ј = x₁₀ = 0. Когда все 10 человек достигнут пункта назначения, будем иметь x₁ = x₂ = ј = x₁₀ = 60. Требуется выяснить через какое наименьшее время это произойдет. В дальнейшем в решении будем предполагать, что координата x₁ мотоциклиста лежит на числовой прямой правее каждой из оставшихся координат. Это очевидный факт (почему?). Для того, чтобы эти 10 человек достигли пункта назначения за наименьшее время, должны выполняться следующие три условия: (1) пешеходы должны идти всегда вправо со скоростью 5 км/ч; (2) мотоциклист должен ехать вправо вместе с каким-то пешеходом, а возвращаться один (``порожняком''); (3) все 10 человек должны прибыть в пункт назначения одновременно. В конце решения мы это докажем, а пока будем считать, что люди двигаются оптимальным образом, т. е. при выполнении условий (1)-(3). Введем вспомогательную координату X = ax₁+x₂+x₃+ј+x₁₀, где a подберем таким образом, чтобы точка X двигалась по числовой прямой вправо с постоянной скоростью. Когда мотоциклист едет вправо (и, значит, везет с собой пассажира), то вектор скорости точки X равен 50a+50+5+ј+5, а когда возвращается назад, этот вектор равен -50a+5+5+ј+5. Значит, 50a+50 = -50a+5, отсюда a = -9/20. В момент прибытия всех людей в конечную точку x₁ = x₂ = ј = x₁₀ = 60, тогда координата X становится равной X = (-9/20)·60+9·60 = 513. Покажем обратное: как только координата X становится равной 513, все люди пребывают в конечную точку. Действительно, по нашему предположению x₁ і x₂, x₁ і x₃, ..., x₁ і x₁₀. Следовательно,

X Ј (-9/20)x₁+x₁+ј+x₁ = (19/20)·9x₁ Ј (19/20)·9·60 = 513, при этом равенство достигается, если x₁ = x₂ = ј = x₁₀ и x₁ = 60. Итак, в начальный момент X = 0, а в момент прибытия 10-ти человек в конечный пункт точка X проходит расстояние 513 км. Она движется с постоянной скоростью, равной (-9/20)·50+50+5+ј+5 = 67,5 км/ч, так что проходит весь путь за время 513/67,5 = 7,6 часов. Это и есть минимальное время. Теперь, как было обещано, покажем, что выполняются условия (1)-(3). Если нарушается (1) или (2), например, в случае, когда пешеход пошел назад или мотоциклист повез пешехода назад, то скорость точки X становится меньше 67,5 км/ч, поскольку скорость по крайней мере одного из этих людей уменьшается (если какой-то пешеход движется назад, то его скорость отрицательна). Если нарушается условие (3), то это означает, что какой-то из людей прибыл в пункт назначения раньше других, поэтому в течение всего времени, пока он ждет остальных, его скорость равна нулю (меньше 5 км/ч), тогда скорость точки X опять таки уменьшается. Таким образом, условия (1)-(3) необходимы для того, чтобы 10 человек прошли свой путь за наименьшее время.