Результаты по олимпиаде можно посмотреть здесь.

Задача 1.
Существуют ли такие действительные числа a и b, что

Задача 2.
В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведена биссектриса AL. Докажите, что CL < BL.
Решения, указания, ответы
Опустим из точки L перпендикуляр LK на гипотенузу AB. Поскольку AL - биссектриса РA, то CL = LK, а в прямоугольном треугольнике LKB катет LK меньше гипотенузы LB.

Задача 3.
Решите систему уравнений

Задача 4.
Ася и Дося делили булавки. Вначале у Аси было 19 булавок, а у Доси - 98. Каждый раз та из них, у которой больше булавок, отдает своей подруге столько булавок, сколько у подруги к этому моменту имеется. Докажите, что как бы долго они не делили таким образом булавки, у одной из них будет по крайней мере на 17 булавок больше, чем у другой.
Решения, указания, ответы
Проследим, сколько булавок оказывается у Аси и Доси на нескольких первых ходах (в скобках указана их разность): 19«98 (79), 38«79 (41), 76«41 (35), 35«82 (47), 70«47 (23), 23«94 (71), 46«71 (25), 92«25 (67), 67«50 (17), 17«100 (83), 34«83 (49), 68«49 (19), 19«98 (79). Далее их ходы будут повторяться. Как видно, минимальная разность равна 17.

Задача 5.
Постройте параллелограмм по двум высотам и острому углу.
Решения, указания, ответы
Из вершины B тупого угла параллелограмма ABCD проведем высоты BE^AD и BF^CD. Если острый угол параллелограмма РBAE равен a, то РEFB= РABC- РABE- РFBC = a. DBEF можно построить, зная стороны BE, BF и угол EFB. Затем через точки E и F проводим отрезки, перпендикулярные отрезкам BE и BF соответственно.

Задача 6.
В вершинах квадрата расставлены по часовой стрелке цифры 1, 2, 3, 4. Можно ли сложить несколько таких квадратов в стопку так, чтобы сумма чисел в каждой вершине равнялась 1998.
Решения, указания, ответы
Допустим нам удалось сложить N квадратов в стопку указанным способом. Подсчитаем сумму чисел во всех вершинах двумя способами. Сумма чисел в вершинах одного квадрата равна 1+2+3+4 = 10, всего имеем N квадратов, поэтому сумма всех чисел равна 10N. С другой стороны, по условию сумма чисел в каждой вершине равна 1998, т. е. во всех четырех вершинах 4·1998. Итак, 10N = 4·1998. При натуральных N последнее равенство неразрешимо.

Задача 7. Решите уравнение: |x-1|+x = {x}+|x²-1|, где {x} обозначает дробную часть числа x.
Решения, указания, ответы
Перепишем уравнение в виде -|x²-1|+ |x-1|+x = {x} и построим графики функций, стоящих в левой и правой его частях. Эти графики пересекаются в четырех точках (см. рис.): x = 0, x = 2, x = (1±Ц5)/2.

Задача 8. Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого начинается с 1998.
Решения, указания, ответы
Ответ. 447. Пусть n - наименьшее из тех натуральных чисел, для которых n² = 1998.... Понятно, что число n² не менее чем пятизначное, поскольку четырехзначное число 1998 не является квадратом натурального числа. Если предположить, что n² есть пятизначное число, то получим оценки 19980 Ј n² < 19990, откуда

Задача 9.
Докажите неравенство: 1-(1-a)(1-b)(1-c) > c, если 0 < a Ј b Ј c < 1.
Решения, указания, ответы
Перепишем неравенство в виде 1-c > (1-a)(1-b)(1-c). По условию числа a, b и c расположены на числовой прямой между 0 и 1, поэтому числа 1-a, 1-b и 1-c также расположены между 0 и 1. Если умножить положительное число 1-c на положительное число (1-a)(1-b) < 1, то полученное число будет меньше 1-c. Следовательно, в верхнем неравенстве левая часть действительно больше правой.

Задача 10.
Решите в натуральных числах уравнение a+b+c = (ab+c-1)².
Решения, указания, ответы
Ответ. (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2). Для натуральных a и b выполнено неравенство (a-1)(b-1) і 0. Раскрыв в нем скобки имеем ab і a+b-1 и, значит, ab+c-1 і a+b+c-2 > 0. Теперь из уравнения задачи следует a+b+c і (a+b+c-2)². Обозначим x = a+b+c-2, тогда x+2 і x². Поскольку x - натуральное число, то x = 1 или 2. В первом случае a+b+c = 3, откуда a = b = c = 1, но эта тройка чисел не является решением. Во втором случае, a+b+c = 4, откуда ясно, что одно из чисел a, b, c равно 2, а два других равны 1. При этом каждая из троек (2,1,1), (1,2,1), (1,1,2) является решением.