Результаты по олимпиаде можно посмотреть здесь.

Условия в PS-формате

Задача 1. Число n²+1 - десятизначное (n О N). Докажите, что в его записи встречаются две одинаковые цифры.

Задача 2. ABCD - квадрат. Точка M лежит на луче DC, точка N - на продолжении стороны CB за точку B так, что DM = BN. Найдите РAMN.

Задача 3. Приведите пример многочлена P(x) такого, что P(0) = 19, P(1) = 99, который во всех рациональных точках интервала (0, 1) принимает иррациональные значения.

Задача 4. Найдите две последние цифры числа

Задача 5. Блоху посадили в начало координат и разрешили прыгать по прямой либо вправо на 19 единиц, либо влево на 99 единиц. Сделав несколько прыжков, блоха очутилась в точке 1. Какое наименьшее число прыжков она могла совершить?

Задача 6. В клетки таблицы 19×99 расставляются числа 1, 2, 3 и т. д., придерживаясь следующего правила: рядом с каждой единицей в соседних клетках стоит еще хотя бы две единицы, рядом с каждой двойкой стоит по крайней мере еще две двойки и так для любого числа. Какое наибольшее количество различных чисел можно разместить в таблице? (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)

Задача 7. Сделав два прямолинейных разреза, разделите изображенную фигуру на три части, из которых можно составить квадрат.

Задача 8. a < b < c, a+b+c = 0. Докажите, что a²+b²+c² < -3ac.

Задача 9. Докажите, что при любом действительном значении x значение выражения (x-3)(x-7)+5 - положительное число.

Задача 10. Известно, что