9 Класс
Результаты по олимпиаде можно посмотреть здесь.
Условия в PS-формате
Задача 1. В треугольнике ABC AC = (AB+BC)/2. Докажите, что радиус окружности
треугольника ABC втрое меньше одной из его высот.
Задача 2. На полях шахматной доски 10×10 расставлены действительные
числа, каждые два из которых отличаются не меньше чем на 19. Докажите,
что есть пара соседних (имеющих общую сторону) клеток, разность чисел
в которых больше 99.
Задача 3. Постройте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
|
|
ж
з
и
|
|
1+xy
x+y
|
|
ц
ч
ш
|
2
|
Ј 1. |
|
Задача 4. Выражение от переменной x называется многочленом, если его
можно представить в виде
где a0, a1, ..., an - произвольные числа.
Выясните, является ли многочленом следующее выражение
Задача 5. Решите систему уравнений
где {a} обозначает дробную часть числа a.
Задача 6. Докажите, что если числа a, b и c составляют арифметическую
прогрессию, то
|
3(a2+b2+c2) = 6(a-b)2+(a+b+c)2. |
|
Задача 7. Число XY(X+Y), где X и Y - целые числа, при делении на 3 дает
остаток 1. Какой может получиться остаток при делении этого числа на 9?
Задача 8. Сумма четырех положительных чисел a, b, c и d равна 2.
Докажите, что
|
|
| ____
Ц3a+1
|
+ |
| ____
Ц3b+1
|
+ |
| ____
Ц3c+1
|
+ |
| ____
Ц3d+1
|
< 7. |
|
Задача 9. Докажите, что число 4000000999 - составное.
Задача 10. Дан отрезок Ц5. Постройте единичный отрезок.
|