1. В телевизионной передаче “Поле чудес” ведущий разыгрывал приз следующим образом. Играющему показывали три шкатулки, в одной из которых находился приз. Играющий указывал на одну из шкатулок, после чего ведущий открывал одну из двух других оставшихся шкатулок, которая оказывалась пустой. После этого играющий мог либо настаивать на первоначальном выборе, либо сменить его и выбрать третью шкатулку. В каком случае его шансы на выигрыш возрастают? (Возможны три варианта ответа: обе шкатулки равноправны, лучше сохранить первоначальный выбор, лучше его изменить. Попытайтесь обосновать свой ответ.)

2. Найдите наименьшее натуральное n такое, что при всех целых m > n найдутся целые положительные x и y, для которых имеет место равенство
17x + 23y = m.

3. Найдите x + y, если

4. На единичном отрезке расположено несколько непересекающихся отрезков красного цвета, общая длина которых больше 0,5. Обязательно ли найдутся две красные точки на расстоянии:

5. Угол А в треугольнике АВС равен a. Окружность, проходящая через А и В и касающаяся ВС , пересекает медиану к стороне ВС (или ее продолжение) в точке М, отличной от А. Найдите угол ВМС.

6. При всех допустимых значениях aи b упростите выражение

7. На прямой l расположены точки А, B, C и D так, что

Некоторая окружность касается прямой lв точке С. Через A проведена прямая, пересекающая эту окружность в точках M и N таких, что серединные перпендикуляры к отрезкам BM и DN пересекаются в точке Q на прямой l. В каком отношении точка Q делит отрезок AD?

8. На плоскости даны прямая l и луч p с началом на этой прямой. Построены две фиксированные окружности (не обязательно равные), вписанные в два образовавшихся угла. На луче p берется точка А так, что касательные из А к заданным окружностям, отличные от p, пересекают прямую l в точках В и С и при этом треугольник АВС содержит заданные окружности. Найдите геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольник АВС (при перемещении А).

9. На плоскости расположены два равнобедренных не пересекающихся прямоугольных треугольника ABC и DEC (AB и DE – гипотенузы, АВDЕ – выпуклый четырехугольник), причем AB = 2 DE . Построим еще два равнобедренных прямоугольных треугольника: BDF (с гипотенузой BF, расположенной вне треугольника BDC) и AEG (с гипотенузой AG, расположенной вне треугольника AEC). Докажите, что прямая FG проходит через точку N такую, что DCEN – квадрат.

10. Школьник написал домашнее сочинение на тему «Как я провел лето». Два его товарища из соседней школы решили не утруждать себя работой и переписали его сочинение. Но при переписывании они сделали несколько ошибок – каждый свои. Прежде чем сдать работы, оба школьника дали переписать сочинения четырем другим своим товарищам (каждый дал двум знакомым). Эти четыре школьника делают то же самое и т.д. При каждом переписывании сохраняются все предыдущие ошибки и, возможно, делаются новые. Известно, что в какой-то день в каждом новом сочинении оказалось не менее 10 ошибок. Докажите, что был такой день, когда в сумме было допущено не менее 11 новых ошибок.