1. В игре участвуют
два игрока А и Б. Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов
a, b или c многочлена x3 +
ax2+ bx + c.
Игрок Б указывает значение
любого из двух оставшихся коэффициентов. Затем игрок А задаёт значение
последнего коэффициента. Существует ли стратегия игрока А такая, что как
бы ни играл игрок Б, уравнение x3 +
ax2 + bx + c = 0
имеет три различных
(действительных) решения?
3.Числа a , b и c
таковы , что
a2 +
b2 + c2 =
1. Докажите, что a4 +
b4 + c4 + 2(ab2
+ bc2 + ca2)2
Ј 1.
При каких a, b и cнеравенство превращается в
равенство?
4. Пусть прямая
L перпендикулярна плоскости P. Три сферы попарно касаются
друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой
L. Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус
наименьшей сферы.
5. На валютной бирже
острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой
валют не более одного раза за день. Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D
= 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T. Например, запись D = 6G означает,что 1
динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1
динар). Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400
талеров. Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров. Каково
максимальное значение этого числа?
6. Известно, что
n-вершинник содержит внутри себя многогранник M с центром симметрии
в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с
центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k. Найдите наименьшее
значение k, если
а) n = 4, b) n = 5
7. Докажите, что
существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из
различных попарно взаимно простых натуральных чисел.
8. Докажите, что
плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем
описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот
многогранник сферы.
9. Найдите наибольшее
c такое,
что для любого l
і 1 найдется a, удовлетворяющее
неравенству sina
+ sinal і
c.
10. В треугольнике
ABC угол A равен a, а угол B равен
2a.
Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую,
содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M
и N. Найдите углы треугольника MAN.