Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число,
не превосходящее x. Обозначается целая часть x символом
"[x]". Далее целую часть x будем также называть "антье"
(от франц. entire -целый). Например: [3,5]=3, [-3,5]=-4,
[3]=3, [-5]=-5.
Наряду с целой частью числа существует понятие дробной части числа,
которая обозначается "{x}" и определяется следующим образом:
{x} = x-[x]. Так {3,5}=0.5, {-3,5}=-0.5, {5}=0,
{-5}=0.
Очевидно, что для любого действительного числа x выполняется двойное
неравенство:0 Ј
{x} < 1.
Антье обладает различными свойствами. Перечислим некоторые из них.
1. Если x і 0, то [x]
і 0.
Если x < 0,
то [x] < 0.
2. Если p - целое число, то [x+p] = [x]+p.
Так как дробная часть числа x равна дробной части числа x+p, то из
равенства {x+p} = {x}
следует x+p-[x+p] = x-[x], откуда получаем
[x+p] = [x]+p.
3.
Для любых двух действительных чисел a
и b
справедливо [a+b] і [a]+[b].
Действительно, a = [a]+{a},
b = [b]+{b}.
Следовательно, a+b =
[a]+[b]+{a}+
{b}. Так как[a] и
[b] - целые числа, то по свойству 2
[a+b] = [[a]+
[b]+{a}+{b}]
= [a]+[b]+[{a}+
{b}] і [a]+
[b],
потому что
{a}, {b} і 0
и по свойству 1 [{a}+ {b}] і 0.
Свойство 3 распространяется также на любое конечное число
действительных чисел:
[a+b+...+w]
і [a]+[b]+...+
[w].
4. Если [x] = [y], то
|x-y| < 1.
Так как x = [x]+{x}, y = [y]+{y}, то
|x-y| =
|[x]+{x}-[y]-{y}|
= |{x}-{y}| <1.
Последнее неравенство следует из того, что дробная часть числа больше или равна нулю и меньше единицы.
Следовательно, разность дробных частей двух чисел больше -1 и меньше 1, а модуль этой разности меньше 1.
Отсюда |x-y| < 1.
5. Если n - натуральное число, то для любого
действительного x выполняется
й к
л
[x]n
щ ъ
ы
=
й к
л
xn
щ ъ
ы
.
Так как x = nq+r+a, 0
Ј r < n,
a = {x}, то
й к
л
[x]n
щ ъ
ы
=
й к
л
nq+rn
щ ъ
ы
=
й к
л
q+
rn
щ ъ
ы
= q
й к
л
xn
щ ъ
ы
=
й к
л
nq+r+an
щ ъ
ы
=
й к
л
q+
r+an
щ ъ
ы
= q.
Теперь, познакомившись с целой и дробной частью, можно рассмотреть следующий
Пример 1.Доказать, что для всех вещественных
a и
b выполняется неравенство
[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b].
Решение.
Пусть [a+b] = [a]+[b]+e3;
[2a] = 2[a]+e1;
[2b] = 2[b]+e2; где ei - целое. Покажем,
что e3
равно 0 или 1. Имеет место неравенство
-1 = a+b-1-a-b < [a+b]-[a]-[b] < a+b-a+1-b+1 = 2.
Отсюда
получаем, что -1 < e3 < 2, откуда e3 = 0 или
e3 = 1, то же
верно для e1, e2. Рассмотрим разность
Осталось
показать, что
e1+e2-e3 і 0, ei = 0 или 1. Это
неравенство
может быть нарушено только при e1 = e2 = 0 и
e3 = 1.
Покажем, что это невозможно. Если e1 = 0 то
[2a] = 2[a], т.е.
a = N+d, где N - целое, а 0 Ј d < 0,5,
аналогично,
b = K+l, где K - целое, а 0 Ј l < 0,5, но тогда
[a+b] = N+K = [a]+[b], т.е.e3 = 0. Мы пришли
к
противоречию, следовательно
[a]+[a+b]+[b] Ј [2a]+[2b], что и
требовалось доказать.
Пример 2.Найдите
lim n®Ґ
{(2+Ц2)n}.
Решение
Число Nn = (2+Ц2)n+(2-Ц2)n является целым при
любом натуральном n. Поэтому
lim n®Ґ
{(2+Ц2)n} =
lim n®Ґ
{Nn-(2-Ц2)n} =
lim n®Ґ
{-(2-Ц2)n} =
lim n®Ґ
(1-{(2-Ц2)n}) = 1,
так как {-z} = 1-{z}, если z - не целое число,
и |2-Ц2| < 1.
Пример 3. Найдите [x], если
x=1+(1/2)2+(1/3)2+...+(1/1997)2.
Решение
Для любого натурального числа n і 2 справедлива оценка
1n2
<
1n(n-1)
=
1n-1
-
1n
.
Применим эту оценку ко всем слагаемым числа x, начиная со второго:
