Под целыми точками мы будем понимать точки (x, y) координатной плоскости с целочисленными координатами x и y. Спрашивается, как подсчитать число целых точек, лежащих внутри данной плоской области?

Пример 23. Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника, образованного прямыми y = 2/3x-1/2, x = 10 и осью абсцисс?
Решение Найдём значения функции y = 2/3x-1/2 при целых x = 1, 2, . . ., 10 (заметим, что у = 0 при x = 3/4); получим ординаты 1/6, 5/6, 3/2, 13/6, 17/6, 7/2, 25/6, 29/6, 11/2, 37/6. Легко подсчитать, что общее число целых точек, лежащих в данном треугольнике (учитывая точки на границе), равно сумме целых частей этих ординат плюс десять точек, лежащих на оси абсцисс:

Таким образом, внутри данного треугольника лежат 37 целых точек.

Пример 24.Доказать тождество

Проведём диагональ OB нашего прямоугольника; её уравнение - y = ^q/_px. Так как p и q взаимно просты, а x = 1, 2, . . ., p-1, то числа ^q/_px - не целые, т.е. на диагонали OB нет целых точек, и таким образом в треугольнике, лежащем под диагональю OB, будет ((p-1) (q-1))/ 2 целых точек. С другой стороны, способом, описанным в предыдущем примере, получаем, что число этих точек равно сумме [(q·1)/( p)]+ [(q·2)/( p)]+. . . +[(q·(p-1))/( p)], и, значит, нужное тождество доказано.

Пример 25. Пусть в интервале Q Ј x Ј R функция f(x) непрерывна и неотрицательна. Доказать, что е _{Q Ј x Ј R} [f(x)] выражает число целых точек плоской области: Q Ј x ЈR, 0 < y Ј f(x).
Решение На любой ординате y₀ кривой y = f(x)с абсциссой x лежит [f(x)] целых точек данной области. Тогда во всей области содержится е _{Q Ј x Ј R} [f(x)] целых точек.