Часто приходится решать задачи в которых параметры в различных областях изменяются по различным законам, при этом необходимо рассматривать уравнения с антье. Существует несколько способов решения таких уравнений, но самыми известными и простыми являются аналитический и графический.

В основе аналитического способа лежит использование свойств антье и дробной части. Обычно, применяя различные подстановки, уравнения с антье сводят к двойному неравенству, которое уже на содержит антье, таким образом получают диапазон изменения переменной и, производя обратную подстановку, получают ответ. Bот несколько примеров.

Пример 4. Решить уравнение [[(7+8x)/ 5]] = [[(10x-1)/ 3]].
Решение Обозначим[(10x-1)/3]=y. Тогда x=[(3y+1)/10]. Подставим x в уравнение, получим

Пример 5. Решить уравнение {[(15x-4)/ 6]} = [(5x-3)/ 5].

Решение
Преобразуем уравнение так, чтобы оно содержало антье:

Вот более сложные примеры.

Пример 6. Доказать тождество:

Предположим, что [Цn+[Ц(n+1)]] Ј [[Ц(4n+2)]]. Тогда существует такое натуральное число m, что

Пример 7. Найти все числа х на отрезке [-10; 2], которые удовлетворяют уравнению [x²] = [x]².

Решение
Если х - целое число, то [x]=x, т.е. всякое целое число из отрезка [-10;2] будет решением уравнения. Пусть x - нецелое число, т.е. x=[x]+a, 0 Ј a < 1. Тогда x²=[x]²+a²+2 a[x]. Если [x] < 0, то 2a[x]+ a²=a(2[x]+ a) < 0; следовательно, [x²] < x² < [x]², т.е. уравнение не имеет нецелых решений в этом случае.

Осталось проверить два случая: [x]=0 и [x]=1. Если [x]=0, то x=a и [x²]=0, т.е. любое число из интервала (0; 1) удовлетворяет уравнению. Если [x]=1, то x=1+a и x²=1+2a+ a². По условию [x]²=[x²]=1, а это возможно только при 2a+ a² < 1, т.е. 0 < a < Ц2-1, следовательно, уравнению удовлетворяют все числа из промежутка [1; Ц2).

Ответ: все целые числа из отрезка [-10; 2] и интервал (0; Ц2.)

Пример 8. При каких n число [([(3+Ц17)/2])ⁿ] чeтно?
Решение
Положим a=[(3+Ц17)/ 2], b=[(3-Ц17)/ 2], x_n = aⁿ+bⁿ. Тогда a и b - корни уравнения x²-3x-2 и

Так как x₁=3 и x₂=13 - нечетны, то все числа x_n - нечётны, и поскольку -1 < b < 0, то при чётном n 0 < bⁿ < 1, и поэтому

Таким образом, заданное число чётно при чётных n.

Пример 9. Решить уравнение [x]+[x²]=[x³].

Решение
Если -1 < x < 0, то -1 < x³ < 0, 0 < x² < 1 и, следовательно, [x]=[x³]=-1, [x²]=0. Если 0Ј x < 1, то [x]=[x²]=[x³]=0. Если |x| < 1, то [x²] > 1, тогда [x] > [x³] и, значит, x³ > x. Отсюда x > 1, но тогда [x³]=[x·x²] і [[x]·[x²]]=[x]·[x²]. Теперь из уравнения следует, что [x]+[x²] і [x]·[x²], или ([x²]-1)([x]-1) Ј 1. Т.о.,[x²] Ј 2, т.е. [x²]=1 или [x²]=2. Если [x²]=1, то 1 Ј x < Ц2. Тогда [x]=1, [x³]=2, 2^1/3 Ј x < 3^1/3, т.е. 2^1/3 Ј x < Ц2. Если [x²]=2, то Ц2 < x < Ц3. Тогда [x]=1, [x3]=3, 3^1/3 Ј x < 4^1/3 , т.е. 3^1/3 Ј x < 4^1/3.

Таким образом, мы получили ответ: -1 < x < 1, 2^1/3 Ј x < Ц2, 3^1/3 Ј x < 4^1/3.

Пример 10. Решить уравнение

Покажем теперь, что среди решений неравенства [(x³-2)/ 3] Ј x-1. будут значения x Ј -2. В самом деле, в этом случае x³ Ј 3x-1 или x²(x+2) Ј 2x²+3x-1. При x Ј -2 левая часть последнего неравенства будет не больше нуля, тогда как трёхчлен, стоящий в правой части, будет положителен.

Таким образом, решения данного уравнения следует искать лишь на промежутке -2 < x < 3. Для этого достаточно решить следующие системы неравенств:

Система 3) не имеет решений. Остальные системы соответственно дадут:

Пример 11.Решить уравнение

Решение
Так как [x] Ј x < [x]+1 и x = x/2+x/3+x/6, то

Поскольку x - целое число, то остаётся проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0, 4 и 5.

Пример 12.Решить уравнение

Решение
Понятно, что [x/p] может принимать лишь значения -1, 0, и 1, в противном случае решений нет. Таким образом, решения уравнения распадаются на 3 возможных случая:

Совокупность решений данных трех систем и образует множество решений исходного уравнения:

Пример 13. Решите неравенство x²-4[x]+3і0.

Решение
Найдём все x, удовлетворяющие обратному неравенству

Пусть x удовлетворяет обратному неравенству и n = [x]. Из этого неравенства следует, что x² + 3 < 4n, и, значит, n > 0. В таком случае, используя неравенство n Ј x, получаем

Решением последнего неравенства являются значения 1 < n < 3, но n - целое, так что годится лишь значение n=2. Следовательно, x і2. Далее, из неравенства x² +3 < 4n = 8 устанавливаем, что x < Ц5. Нетрудно проверить, что все значения x из промежутка [2, -Ц/5) удовлетворяют неравенству x²-4[x]+3 < 0, поэтому значения (-Ґ, 2)И[Ц5, +Ґ) являются решением исходного неравенства.

Ответ: (-Ґ,2)И [Ц5,+Ґ).

Пример 14. Решите уравнение ctg x+ 2[ctg x]-1995 = 0.
Решение
ctg x = 1995-2[ctg х], т.е. ctg x целое число и [ctg x]=ctg x. Тогда из уравнения находим ctg х=665, откуда х=arcctg 665 + pk, k О Z.

Пример 15. Решите систему уравнений

Из уравнения x = 1+k² и предыдущего неравенства выводим неравенство

значит, Ц{y+2Цx} = k+1. Из второго уравнения системы заключаем,

что у = 2k + 3. Подставляя полученное выражение вместо у в (*), учитывая определение целого числа k, находим оттуда k = 2, х = 5, у = 7.

Пример 16. Дана система с двумя неизвестными

с открытыми верхней и правой границами. Графическое представление второго уравнения системы есть ромб с центром в начале координат, с полудиагональю, равной a, и со сторонами, наклоненными к осям координат под углом 45^° (см. рисунок). Эти два множества имеют не более двух общих точек, когда a - целое чётное число.

Ответ: a=2n, nОZ.