Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его только для x и t в виде

Важнейшим свойством преобразования поворота является сохранение расстояния между любыми двумя точками: r₁₂ = r^ў₁₂.

Здесь:

Введем величину, зависящую от параметров двух событий { [(r₁)\vec],t₁ } и { [(r₂)\vec],t₂ } и определенную равенством

Прямой подстановкой формул (4) можно проверить, что величина пространственно - временного интервала между двумя событиями является инвариантом преобразований Лоренца:

В двумерном случае можно рассматривать как "расстояние" между точками плоскости ct, x. Но квадрат разности координат входит в s₁₂ со знаком "минус". Пространство, в котором расстояние между точками определено формулой (8) называется псевдоевклидовым. Наряду с отмеченным сходством, между евклидовым и псевдоевклидовым пространствами имеются принципиальные различия. В евклидовом пространстве расстояние между любыми точками r²₁₂ і 0, равенство нулю означает, что точки совпадают. В псевдоевклидовом пространстве s²₁₂ может иметь любой знак, а его обращение в нуль возможно для двух совершенно различных точек пространства - времени.

Найдем положение новых осей (x^ў, ct^ў) на псевдоевклидовой плоскости. Отложим координата x, ct на прямоугольных осях. (Рис. 9). Точка x^ў = 0, сопадающая с началом координат системы S^ў, движется в системе S со скоростью V. Ее мировая линия будет представлять собой ось времени ct^ў системы S^ў. Эта ось будет наклонена к оси ct на угол a = arctg (V/c). Ось x^ў новой системы можно определить условием ct^ў = 0. Но тогда в старой системе координат это будет прямая ct = bx, проходящая через начало координат и составляющая с осью x тот же угол a = arctg (V/c).

Приходим к выводу, что новая система координат косоугольна! Если попытаться найти связь между отрезками x^ў, ct^ў и  x, ct, посто проектируя отрезки (так как это делается в эвклидовом случае), то получится неправильный результат. Преобразования Лоренца не только поворачивают оси, но и искажают масштабы координат по осям!

Итак, основной результат состоит в том, что преобразования Лоренца можно интерпретировать, как псевдоевклидово вращение системы координат в пространстве Минковского.

С помощью Рис. 9 можно дать геометрическую интерпретацию различным следствиям из преобразований Лоренца. Вспомним, например, относительность одновременности. В системе S линии равного времени - прямые параллельные оси 0x. В системе S^ў - это прямые, параллельные 0x^ў, не совпадающие с линиями равного времени в системе S. Поэтому события, одновременные в S, не будут в общем случае одновременными в S. Например, между одновременными в системе S событиями A и B в системе S^ў пройдет промежуток времени D t^ў = |A^ўB^ў|/c, причем событие B произойдет раньше.

Как ясно из вышеизложенного, на псевдоевклидовой плоскости квадрат интервала s²₁₂ может быть как положительным, так и равным нулю и отрицательным.

Если s²₁₂ > 0, его называют времениподобным, при s²₁₂ < 0 - пространственноподобным, при s²₁₂ = 0 - светоподобным или нулевым.

Характер интервала тесно связан c причинностью - он определяет возможность причинной связи событий, происходящих в пространственно - временных точках 1 и 2. Если s²₁₂ > 0, то из точки 1 можно послать сигнал со скоростью , который вызовет событие 2. В случае s²₁₂ = 0 это также возможно, но сигнал должен посылаться с предельной скоростью c. События, разделенные пространственноподобным интервалом, не могут быть причинно обусловлены, т.к. сигналы не могут распространяться со скоростью .