С функциональными уравнениями вы наверняка сталкивались не раз, но, наверное, и не подозревали, что они так называются. Так, функциональные уравнения f(x) = f(-x), f(-x) = -f(x), f(x+T) = f(x) задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

Вообще говоря, функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Даламбер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке методов их решения. Под выражением "решить функциональное уравнение" понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку неизвестные функции - искомые.

Как вы уже заметили, в функциональных уравнениях кроме неизвестных функций могут присутствовать функции известные, заданные в любой форме - явной (такие как x+1, [2/( x+1)], cosx и т. п.) или неявной. Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши

Многие функциональные уравнения, так же как и уравнения (1) (4), содержат несколько переменных (x, y и т. д.), и необходимо понимать, что эти переменные являются независимыми. Это значит, что равенство, определяющее функциональное уравнение, выполняется для дюбых значений переменных x, y (независимо друг от друга), и если даже мы зафиксируем y (например, подставим в уравнение y = 0), то равенство будет по-прежнему выполнено для каждого значения x. Этот факт широко используется при решении почти всех функциональных уравнений, содержащих несколько независимых переменных, и, по-видимому, является одним из основных. Тем не менее, в некоторых задачах может быть оговорено, что функциональное уравнение справедливо, например, для значений x и y таких, что x Ј y. Здесь уже наложено ограничение на свободу выбора значений переменных, и различного рода подстановки нужно применять с осторожностью. К этому мы ещё вернёмся при рассмотрении различных методов нахождения общих решений функциональных уравнений.

Следует упомянуть ещё об одном очень важном обстоятельстве. Всегда чётко должно быть оговорено, на каком множестве функциональное уравнение задаётся, т. е. какова область определения каждой неизвестной функции. Это необходимо потому, что общее решение функционального уравнения может зависить от этого множества.

Пример 1. Рассмотрим функциональное уравнение Коши

б) На множестве же (-Ґ, 0) И (0, +Ґ) уравнение имеет также решения

Пример 2. Другим примером может служить функциональное уравнение

а) Если здесь функция определена для всех действительных x и имеет непрерывную производную, то решением будет функция f(x) = ax.

б) Если же ослабить условия, накладываемые на искомую функцию, то, как нетрудно проверить, решением является также функция

Кроме области определения самих функций, важно знать, в каком классе функций ищется решение. Количество и поведение этих решений очень строго зависит от этого класса. Решение f(x) = log_a|x| есть общее непрерывное решение функционального уравнения (3) на множестве (-Ґ, 0) И (0, +Ґ), но, как уже говорилось, уравнение (3) имеет также разрывные (и только неизмеримые) решения на этом множестве. Это одна из характерных особенностей функциональных уравнений, и мы по мере сил будем говорить о ней на протяжении нашего рассказа.

Не начав ещё решать сами функциональные уравнения, мы уже видим, как много здесь "подводных камней". Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши нашёл общие решения

Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла параллельности

была получена Н. И. Лобачевским из функционального уравнения

.

Функциональное уравнение (1) было опять применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное достижение - значительное ослабление предположений. Мы знаем, что функциональное уравнение Коши (1) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослабленгию предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (1)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В § 3 мы покажем, что при рациональных x значения любой аддитивной функции должны совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. f(x) = ax для x О Q. Казалось бы, что тогда f(x) = ax для всех действительных x. Если f(x) - непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить -то нет. Первый пример отличного от f(x) = ax разрывного решения функционального уравнения (1) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель (Hamel) с помощью введённого им базиса действительных чисел.

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

Иногда для функциональных уравнений определяют понятие "порядка". Под порядком уравнения подразумевается порядок искомой функции, входящей в уравнение. В качестве примера рассмотрим два уравнения:

Мы будем в основном изучать уравнения 1-го порядка одной или нескольких переменных. Функциональные уравнения нескольких переменных - это уравнения типа

Кроме этого, мы затроним вопрос о решении функциональных уравнений с несколькими неизвестными функциями и систем функциональных уравнений.

Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие решать функциональные уравнения.