Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Метод сведения функционального
уравнения к известному с помощью замены переменной и функции
Здесь мы будем рассматривать определённый тип
функциональных уравнений, которые можно свести к
уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как
правило, такие уравнения сводятся к основным
уравнениям Коши (1)-(4). Метод основан на введении
вспомогательной функции, которую следует подобрать таким
образом, чтобы после преобразований было ясно, что она
удовлетворяет одному из известных функциональных
уравнений. (Вообще говоря, в пунктах 2.2-2.4 §2
как раз был использован этот метод.)
Пример 7. Найти все непрерывные функции f(x), определённые
на интервале (0, + Ґ) такие, что при любых
допустимых значениях x1 и x2 выражение f(x1y) -f(x2y) не зависит от y.
Решение. По условию выражение f(xy) - f(y) (здесь
x1 = x, x2 = 1) не зависит от y. Значит, если
подставить вместо y какоелибо значение, например,
y = 1, то это никак не повлияет на значение данного
выражения. Поэтому
f(xy) - f(y) = f(x) - f(1)
для любых значений x и y. Введём новую функцию g(x) = f(x) f(1), тогда получим функциональное уравнение
Подстановка показывает, что данная функция удовлетворяет
условию при любых значениях постоянных a и b
(естественно, a > 0, a № 1).
Заметим, что проверка является важной составной частью решения
любого функционального уравнения. В процессе решения мы
пытаемся найти функцию, удовлетворяющую функциональному
уравнению, в предположении, что она существует. Так что
если нам удастся установить её вид, то это не значит,
что решение существует, а значит только, что если оно
есть, то оно обязательно будет иметь установленной вид.
Проверка покажет, так ли это на самом деле.
Пример 8. Найти непрерывные решения функционального уравнения
f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy.
Решение. В качестве вспомогательной функции здесь
удобно считать следующую функцию:
g(x) = f(x) - x2.
Тогда подставляя в исходное уравнение f(x) = g(x) +x2, получим