Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Системы функциональных уравнений
Пример 24. Решить следующую систему функциональных
уравнений:
м п п н
п п о
j(x+y) = j(x)+
j(y)y(x)
1-j(x)j(y)
,
y(x+y) =
y(x)y(y)
[1-j(x)j(y)]2
.
Решение. Исследуем сначала некоторые свойства функций
j(x) и y(x), удовлетворяющих данным в условии задачи
уравнениям. Это даст нам возможность попутно найти частные
решения этих уравнений.
Если y(x0) = 0 для некоторого x0, то из второго решения
следует, что y(x0+y) = 0 при любом y, т.е. y(x) є 0.
Тогда из первого уравнения получаем j(x) = const, что даёт нам
первое тривиальное решение
j(x) = c, y(x) є 0.
(1)
В дальнейшем будем считать, что y(x) № 0 всюду. Полагая в
первом уравнении y = 0, находим, что j(0) = 0.
Если j(x0) = 0 для некоторого x0, то из первого уравнения
при y = x0 получаем
j(x+x0) = j(x),
(2)
т.е. j имеет период x0. С другой стороны, полагая в первом
уравнении x = x0 и используя (2), получаем
j(y) = j(x0+y) = j(x0)+
j(y)y(x0)
1-j(x0)j(y)
= j(y)y(x0),
откуда либо j(y) є 0, либо y(x0) = 1. Первая
возможность приводит ко второму тривиальному решению
j(x) є 0, y(x) є ax
(3)
[точнее говоря, y должно быть здесь решением
функционального уравнения y(x+y) = y(x)y(y); известно (см.
3, п.3.2), что при довольно общих дополнительных
предположениях это даёт (3), если только y(x) № 0].
Итак, если отбросить тривиальные решения, то y(x) = 1 там, где
j(x) = 0. Пользуясь симметрией первого уравнения
относительно x и y, получаем
j(x) +
j(y)y(x)
1-j(x)j(y)
є j(y)+
j(x)y(y)
1-j(x)j(y)
,
и если j(x) № 0 и j(y) № 0, то
y(x)
j(y)
-j(x)-
1
j(x)
є
y(y)
j(y)
-j(y)-
1
j(y)
.
(4)
Левая часть этого тождества зависит только от x, а правая
только от y. Следовательно, та и другая равны одной и той же
константе, которую мы обозначим 2c. Тогда
y(x) є 1+2cj(x)+j2(x) = [j+c]2+1-c2.
(5)
Это тождество мы доказали сейчас при условии, что j(x) № 0.
Однако, как мы видели выше, оно справедливо и при j(x) = 0, а
следовательно, и при всех x. Подставляя (5) в первое из исходных
функциональных уравнений, получаем
j(x+y) =
j(x)+j(y)+2cj(x)j(y)
1-j(x)j(y)
.
(6)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что если j
удовлетворяет уравнению (6), а y находится из (5), то оба
функциональных уравнения, данные в условии задачи,
удовлетворяются. Таким образом, нам остаётся решить уравнение
(6).
Прежде чем переходить к отысканию общего решения, решим (6) в
классе функций, имеющих производную в нуле, т.е. таких, у
которых существует предел
и, значит, F(x) = f(x)-arcsinc удовлетворяет уравнению
F(x+y) = F(x)+F(y).
Оставляя в стороне "паталогические" решения этого уравнения (см.
3, п.3.1), имеем F(x) = ax, откуда опять приходим к первой
формуле (7)
ж и
a = A
____ Ц1-c2
ц ш
.
Аналогично обстоит дело и при c2 і 1. Таким образом, все
"приличные" решения (например, ограниченные в некоторой
окрестности точки 0) даются формулами (1), (3), (7) и (8).