Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения" (Системы функциональных уравнений )

Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников

Ресурсы сайта (Математика)

Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"

Содержание

Системы функциональных уравнений

Пример 24. Решить следующую систему функциональных уравнений:

м
п
п
н
п
п
о

j(x+y) = j(x)+

j(y)y(x)

1-j(x)j(y)

y(x+y) =

y(x)y(y)

[1-j(x)j(y)]²

Решение. Исследуем сначала некоторые свойства функций j(x) и y(x), удовлетворяющих данным в условии задачи уравнениям. Это даст нам возможность попутно найти частные решения этих уравнений.

Если y(x₀) = 0 для некоторого x₀, то из второго решения следует, что y(x₀+y) = 0 при любом y, т.е. y(x) є 0. Тогда из первого уравнения получаем j(x) = const, что даёт нам первое тривиальное решение

j(x) = c, y(x) є 0.

(1)

В дальнейшем будем считать, что y(x) № 0 всюду. Полагая в первом уравнении y = 0, находим, что j(0) = 0.

Если j(x₀) = 0 для некоторого x₀, то из первого уравнения при y = x₀ получаем

j(x+x₀) = j(x),

(2)

т.е. j имеет период x₀. С другой стороны, полагая в первом уравнении x = x₀ и используя (2), получаем

j(y) = j(x₀+y) = j(x₀)+

j(y)y(x₀)

1-j(x₀)j(y)

= j(y)y(x₀),

откуда либо j(y) є 0, либо y(x₀) = 1. Первая возможность приводит ко второму тривиальному решению

j(x) є 0, y(x) є a^x

(3)

[точнее говоря, y должно быть здесь решением функционального уравнения y(x+y) = y(x)y(y); известно (см. 3, п.3.2), что при довольно общих дополнительных предположениях это даёт (3), если только y(x) № 0].

Итак, если отбросить тривиальные решения, то y(x) = 1 там, где j(x) = 0. Пользуясь симметрией первого уравнения относительно x и y, получаем

j(x) +

j(y)y(x)

1-j(x)j(y)

є j(y)+

j(x)y(y)

1-j(x)j(y)

и если j(x) № 0 и j(y) № 0, то

y(x)

j(y)

-j(x)-

j(x)

y(y)

j(y)

-j(y)-

j(y)

(4)

Левая часть этого тождества зависит только от x, а правая только от y. Следовательно, та и другая равны одной и той же константе, которую мы обозначим 2c. Тогда

y(x) є 1+2cj(x)+j²(x) = [j+c]²+1-c².

(5)

Это тождество мы доказали сейчас при условии, что j(x) № 0. Однако, как мы видели выше, оно справедливо и при j(x) = 0, а следовательно, и при всех x. Подставляя (5) в первое из исходных функциональных уравнений, получаем

j(x+y) =

j(x)+j(y)+2cj(x)j(y)

1-j(x)j(y)

(6)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что если j удовлетворяет уравнению (6), а y находится из (5), то оба функциональных уравнения, данные в условии задачи, удовлетворяются. Таким образом, нам остаётся решить уравнение (6).

Прежде чем переходить к отысканию общего решения, решим (6) в классе функций, имеющих производную в нуле, т.е. таких, у которых существует предел

lim
y®0

j(y)

= A

(выше мы уже нашли, что j(0) = 0). Из (6) имеем

lim
y®0

j(x+y)-j(x)

lim
y®0

j(y)

1+2cj(x)+j²(x)

1-j(x)j(y)

= A(1+2cj(x)+j²(x)).

Следовательно, функция j(x) дифференцируема и удовлетворяет дифференциальному уравнению

= A(1+2cj+j²).

Решая это уравнение с учётом начального условия j(0) = 0, находим

(th следует заменить на ctg, если модуль аргумента > 1). Из (5) находим соответствующие y.

Пусть c² < 1. Запишем j(x) в виде

j(x) =

____
Ц1-c²

f(x)-c.

(9)

Из (6) получаем функциональное уравнение для f

f(x+y) = f(x)+f(y)-arcsinc,

и, значит, F(x) = f(x)-arcsinc удовлетворяет уравнению

F(x+y) = F(x)+F(y).

Оставляя в стороне "паталогические" решения этого уравнения (см. 3, п.3.1), имеем F(x) = ax, откуда опять приходим к первой формуле (7)

ж
и

a = A

____
Ц1-c²

ц
ш

Аналогично обстоит дело и при c² і 1. Таким образом, все "приличные" решения (например, ограниченные в некоторой окрестности точки 0) даются формулами (1), (3), (7) и (8).