Пример 25. Решить функциональное уравнение

Решение. Сначала напомним, как графически получить точку с ординатой f(f(x)), предполагая известным расположение графика функции y = f(x), - это ордината точки M₃ (рис. 1).

На рис. 1 ординаты точек M₂ и M₃ по условию должны совпадать, и поскольку совпадают их абсциссы, то M₂ є M₃. Значит, каждой точке графика y = f(x), лежащей вне прямой y = x, соответствует точка графика, которая лежит на прямой y = x и имеет ту же ординату. Сделаем теперь основной вывод.

Вывод. Если функция y = f(x) непрерывна на всей числовой оси и удовлетворяет уравнению f(x) = f(f(x)), то частями её графика обязательно являются части прямой y = x (или вся прямая, или её луч, или её отрезок, или её точка), а сам график имеет один из пяти видов, озображённых на рис. 2.

Для обоснования этого вывода возьмём две точки графика y = f(x), лежащие на прямой y = x: N₁(x₁,f(x₁)) и N₂(x₂,f(x₂)). По теореме Больцано-Коши значения функции f(x) в силу её непрерывности заполняют на оси Oy весь отрезок с концами f(x₁) и f(x₂). А этому отрезку будет на прямой y = x соответствовать отрезок N₁ N₂ графика y = f(x) (рис.3).

Таким образом, на прямой y = x графику функции y = f(x) принадлежит множество, которое либо состоит только из одной точки, либо, наряду с любыми двумя различными точками, содержит и весь отрезок между ними. Необходимо обратить внимание и на то, что в силу непрерыкности функции y = f(x) на всей числовой оси рассматриваемому множеству принадлежат его граничные точки.

Часть графика y = f(x), лежащая на прямой y = x, определяет верхнюю и нихнюю границы для частей графика, не лежащих на прямой (рис. 3). В остальном эти части произвольны - настолько, конечно, насколько произвольны могут быть части графика непрерывной на всей числовой оси функции, так как нетрудно проверить, что для любой непрерывной функции, график которой принадлежит одному из пяти видов, указанных на рис.3, справедливо равенство

Примечание. Подобные же соображения можно применить и к следующему обобщению рассмотренного функционального уравнения