Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Производная и функциональные уравнения
При решении некоторых функциональных уравнений удобно применять производную.
Пример 18. Найти все действительные дифференцируемые
функции, удовлетворяющие функциональному уравнению
f(x+y) =
f(x)+f(y)
1-f(x)·f(y)
.
(1)
Решение. Пусть f удовлетворяет данному уравнению. Тогда
f(x) =
f(x)+f(0)
1-f(x)·f(0)
,
т.е. f(0)[1+f 2(x)] = 0, и, следовательно, f(0) = 0.
После преобразований имеем
f(x+h)-f(x)h
=
f(h)h
·
1+f 2(x)
1-f(x)·f(h)
,
(2)
откуда, с учётом
lim n® 0
f(h) = 0
следует, что
fў(x) = C(1+f 2(x)),
(3)
где C = fў(0). Значит,
f(x) у х 0
dy
1+y2
=
x у х 0
Cdx+C1,
arctg
f(x) = Cx+C1,
f(x) =
tg
(Cx+C1).
Условие f(0) = 0 означает, что C1 = 0, т.е. f(x) = tg Cx.
Очевидно, все функции вида tg Cx подходят под условие
задачи.
Замечание. В решении было использовано лишь условие
дифференцируемости функции f(x) в нуле. Оно было применено
при выполнении предельного перехода (h®0) в равенстве (2). В
левой части (2) получится
fў(x) =
lim h®0
f(x+h)-f(x)h
,
в правой же имеем C(1+f 2(x)), поскольку
lim h®0
f(h)h
= fў(0) = C
и
lim h®0
f(h) = f(0) = 0
(ведь f дифференцируема в нуле, а
значит, непрерывна). К соотношению (3) можно прийти и другим
способом. Непосредственно продифференцировав исходное
функциональное уравнение (1) по y, получим
;
