Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"
Содержание
Функциональные уравнения, содержащие
несколько неизвестных функций
Впервые уравнения Коши для нескольких неизвестных функций
рассмотрел Синцов Д. К.
Пример 21. Найти непрерывные на всей действительной
прямой функции f(x), g(x) и h(x), удовлетворяющие
обобщённым уравнениям Коши:
f(x+y) = g(x)+h(y),
(1)
f(x+y) = g(x)·h(y),
(2)
f(x·y) = g(x)+h(y),
(3)
f(x·y) = g(x)·h(y).
(4)
Решение. Рассмотрим последнее уравнение. Положим
g(1) = a, h(1) = b. Пусть ab № 0. Тогда при
x = 1 получаем f(y) = ah(y) или f(x) = ah(x), а при
y = 1 получаем f(x) = bg(x), и, значит,
f(xy) =
f(x)·f(y)
ab
.
Новая неизвестная функция
F(x) =
f(x)
ab
удовлетворяет уравнению Коши (4) F(x·y) = F(x)·F(y).
Его решением является функция F(x) = xa. Следовательно,
решением исходного уравнения являются функции f(x) = abxa, g(x) = a·xa, h(x) = b·xa. Случай
ab = 0 не вызывает затруднений. Первые три уравнения
решаются подобным образом.
Пример 22. Найти дважды дифференцируемые на всей
вещественной оси функции f(x) и g(x), удовлетворяющие
уравнению
f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)·g(x).
Решение. Пусть y = 0. Тогда f(x)[1-g(0)] = 0, и получаем
решение f(x) є 0, g(x) - произвольная функция. Если
f(x) № 0, то g(0) = 1. Дифференцируя это уравнение дважды по
переменной y и полагая затем y = 0, будем иметь
fўў(x) = af(x), a = gўў(0).
Возможны следующие случаи и соответствующие им решения:
Пример 23. Найти функции f(x), g(x) О C2(R),
удовлетворяющие уравнению
f(x)+g(x+y) = g(y)f(x+ay),
где a - фиксированное число.
Решение. Полагая y = 0, будем иметь f(x)[g(0)-2] = 0. Отсюда
получаем решение исходного уравнения: f(x) є 0, g(x) -
произвольная функция. Если f(x) № 0, то g(0) = 2.
Дифференцируя данное уравнение по переменной y и полагая
затем y = 0, будем иметь
[1-a·g(0)]·f ў(x) = gў(0)·f(x) = [1-2a]·f ў(x).
Если a № 1/2, то функция f(x) = Cekx, где число
k =
gў(0)
1-2a
,
а функция g(x) = ek(1-a)x+e-kax.
Если a = 1/2, то f(x) є 0 или gў(0) = 0. Во втором
случае, дифференцируя исходное уравнение дважды по переменной
y и полагая затем y = 0, получаем
f ўў(x) = bf(x), b = 2gўў(0).
Возможны следующие случаи и соответствующие им решения:
