С экономической точки зрения "процент" это плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заeмщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Так, при вложении своих средств в банк вкладчик выступает в роли инвестора (кредитора), а банк в роли - заёмщика. При выдаче банковской ссуды банк является кредитором, а получатель ссуды - заёмщиком.

Источник постоянно текущего дохода - есть капитал, а доход с него - "интерес"¹ или прибыль. Разница между прибылью и капиталом заключается в том, что размер капитала, как источник дохода, может не изменяться с течением времени, а доход с него накапливается через некоторые промежутки времени; значит величина капитала зависит от числа его единиц, а величина дохода определяется и размерами капитала и временем накопления прибыли.

За единицу измерения капитала принимают 100 руб. Если, например, капитал находится в обращении под p%, то это значит, что каждые 100 руб этого капитала приносят p рублей дохода в течении одного года. Если же прибыль, полученная с капитала, через некоторые промежутки времени вновь присоединяются к капиталу, то эта прибыль является также источником дохода в последующие затем промежутки времени. Тогда считают, что капитал находится в обращении по сложным процентами.

Пусть капитал a руб отдан под сложные p% с годовым периодом наращения, т.е. прибыль присоединяется к капиталу по истечении каждого года. Тогда каждый год рубль капитала даст [(p)/ 100] руб прибыли, а a руб капитала даст [(ap)/ 100] руб прибыли.

Тогда через год образуется капитал

Тогда A₁, A₂, ... A_n - капиталы, образованные по сложным процентам в конце первого, второго, третьего и т.д. годов. Итак,

Обозначая [(p)/ 100] через t, и используя рекурентную последовательность, найдем

Пример 1. Капитал в 5277.5 руб помещён по сложным процентам по 4³/₄% на 34 года. Какой капитал образуется к концу 34 года?

Ответ: A₃₄ = 5277.5·(1.0475)³⁴ » 25578 руб.

Пример 2. Капитал в 7400 отдан на 9 лет по сложным процентам по 4%. Какой капитал образуется по истечении 9 лет?

Ответ: A₉ = 7400·(1.04)⁹ » 10532 руб.

Пример 3. Какой капитал образуется из 15000 руб помещенных под сложные проценты на 12 лет и 6 месяцев. Если период наращения равен трём месяцам по 5% годовых?

Решение В году 4 периода по 3 месяца. 12 лет и 6 месяцев содержат 48+2=50 таких периодов. Если каждый рубль в 1 год приносит [5/ 100] руб, то в 1/4 года тот же рубль принесет 5/400 руб.

Искомый капитал равен A₅₀ = 15000(1+[5/ 400])⁵⁰ » 27931 руб.

Сноски:

¹ Так в дореволюционных учебниках по финансированию обозначалась прибыль.