Положим, что капитал a отдан на сложные проценты по p%
с годовым периодом наращения на срок n лет и h/k части года.
Тогда чрез n лет капитал обратится в
a
ж з
и
1+
p
100
ц ч
ш
n
= a(1+t)n,
с конца же последнего года в течении h/k части года образовавшийся
капитал будет находиться в обращении по простым процентам, и из
каждого
рубля образовавшегося капитала получится (1+[(t·h)/( k)]) или (1+[(ph)/( 100k)]), и весь
капитал станет равным a(1+t)n·(1+h/kt); по
этой формуле обычно
и вычисляют наращенный капитал.
Другой прием состоит в следующем. Допустим, что период обращения
не годовой, а равен 1/k части года; тогда всех периодов будет (k·n+h). Для того, чтобы результат наращения оставался таким же, как и при
годовом периоде наращения,
надо отдать капитал по таксе не t, а по таксе x, определяемой из
уравнения
(1+x)k = (1+t)
(a+x) = (1+t)1/k,
и тогда наращенный капитал станет равным
a(1+x)kn+h = a(1+t)[(kn+h)/( k)],
т.е. искомый капитал A найдется по формуле
A = a(1+t)n+h/k.
Следовательно, капитал можно выразить прямо по формуле сложных
процентов (1),
считая эту формулу справедливой как для целого числа периодов, так и
для дробного.