Андреева Л.В., Саушкин М.Н. "Элементы финансовой математики"

Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников

Ресурсы сайта (Экономика)

Содержание

Ренты

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из их последовательности, т.е. из потока платежей.

Ряд платежей, производимых через равные промежутки времени, называется рентой. Каждые из этих платежей называются членами ренты, а промежутки, через которые производятся эти платежи, называются периодами или сроками ренты.

Примеры рент: квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или по ценным бумагам и т.д.

Первоначально рассматривались лишь ежегодные выплаты, которые назывались срочными или ежегодными взносами, иногда они называются аннуитетом (anno - год на латыни), а самая рента называлась рентой помещения. Если же эти платежи идут на погашение долга, то они называются срочными или ежегодными уплатами, а сама рента - рентой погашения.

Началом ренты называют начало того периода, в конце которого производится первый платёж.

По качеству платежей ренты делятся на ренты с постоянными платежами, - платежи такой ренты между собой все равны, - и на ренты с переменными платежами, - платежи такой ренты между собой не равны.

По времени, в течение которого производятся платежи, ренты делятся на ренты временные, пожизненные и вечные; число платежей первой ренты вообще говоря ораничено, число платежей второй ренты ограничено в зависимости от жизни одного или нескольких лиц, и число платежей третьей ренты неограничено.

Стоимость ренты

Оговоримся, что для стоимости рент с единичными выплатами в международной финансовой практике введены специальные обозначения, однако для учащихся школ и средних специальных учебных заведений будет понятна выбранная нами символика, т.к. наша цель - начальное ознакомление с финансовой арифметикой.

Так как платежи ренты поступают в различные сроки, то их действительная стоимость зависит от времени их поступления. Допустим, что каждый платёж ренты равен 1 руб. Вычислим стоимость каждого платежа в момент начала ренты.

Первый платёж в конце первого периода (первого года) равен 1 руб; в начале же периода (года) за него можно дать такую сумму x₁, которая через год с процентами обратится в 1 руб, т.е.

x₁

ж
з
и

100

ц
ч
ш

= x₁q = 1 и x₁ = q,

где q = 1+[(p)/ 100] = 1+t.

Второй платёж поступит в конце второго периода (года), и в начале первого года за него можно дать такую же сумму x₁, которая через 2 года вместе с процентами обратиться в 1 руб, т.е.

x₂q² = 1 иx₂ =

q²

Стоимость третьего платежа - x₃ = [1/( q³)], четвертого -x₄ = [1/( q⁴)] и т.д.

Найдем наращенную сумму ренты. Если все платежи выписать в ряд

;

q²

;

q³

...

qⁿ

то окажется, что эта последовательность платежей является убывающей геометрической прогрессией. Сумма членов этого ряда, а значит и наращенная сумма ренты, равна

S_n =

a₁(gⁿ-1)

g-1

где знаменатель прогрессии g = ¹/_q и a = ¹/_q.

Стоимость всех платежей R

R =

q²

q³

+...+

qⁿ

R =

ж
з
и

qⁿ

-1

ц
ч
ш

-1

q^-n(1-qⁿ)

1-q

R =

q^-n-1

1-q

или R =

1-q^-n

q-1

т.к. q = 1+t = 1+[(p)/ 100], то

R =

1-q^-n

(4)

Если каждый платёж ренты равен a руб, то стоимость её

aR = a

ж
з
и

1-q^-n

ц
ч
ш

- это формула стоимости временной ренты в начале первого срока. Стоимость всех платежей в конце последнего периода, равна Rq^k. Стоимость ренты за k периодов ее начала, равна Rq^-k.

Таким образом, современная стоимость даже неограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало что стоят сегодня. При большой инфляции обесценивание далеких денег происходит особенно быстро.

Рента вечная и временная

Если n®Ґ в формуле (4), то рента называется бессрочной или вечной. Этот случай имеет только теорретический интерес. Примером могут служить "консоли" - бессрочные облигации британского казначейства, выпущенные ещё в XIX веке. Выплаты по ним производятся 2 раза в год, обычно под 2.5% годовых. А сама облигация может быть выкуплена в любое время по желанию владельца.

Стоимость R всех платежей в начале 1-го срока равна

R = a

ж
з
и

1-q^-k

ц
ч
ш

aq^-n

при n®Ґ q^-n® 0.

(5)

Тогда, если обозначить вечную ренту через V, то

V =

Если рента покупается за m лет до начала 1-го срока, то ее стоимость будет выражаться формулой

Vq^-m =

aq^-m

Учитывая, что стоимость R временной ренты с начала первого срока вычисляется по формуле (5), то стоимость временной вычисляется как разность стоимости вечной ренты, вычисленной в начале первого срока и стоимости той же ренты, вычисленной за n сроков до начала вечной ренты.

Выведем формулу срочных взносов. Формула срочных взносов представляет собой стоимость всех взносов с конца последнего срока.

Так, первый взнос a поступает в конце первого срока и находится до конца n-го срока в обороте, т.е. (n-1) сроков, а поэтому стоимость его равна aq^n-1, соимость второго взноса - aq^n-2, стоимость третьего взноса - aq^n-3 и так до последнего, который стоит aq^n-n = a.

Общая стоимость всех зносов

R₁ = a(q^n-1+q^n-2+q^n-3+...+1) =

aq^n-1

q-1

Эта формула называется формулой срочных взносов.

Пример 7. Какую сумму можно получить за ренту, если ее взносы равны 1000 руб, и она продолжается 62 года из расчета по 5%?

Ответ: R = ^a/_t(1-q^-n) = [1000/ 0.05](1-[1/( 1.05⁶²)]).

Пример 8. Квартирант платит за квартиру 1000 руб в год и желает заменить такой способ уплаты уплатой по четвертям года. Домохозяин соглашается на такую g`lems, но с тем условием, чтобы расчет четвертных взносов был сделан из 2% процентов в четверть года. Сколько должен платить квартирант в начале каждой четверти года?

Решение.

1000 = x+

1.02

1.02²

1.02³

= x

ж
з
и

1-1.02^-3

0.02

ц
ч
ш

x =

1000

3.884

= 257 руб 47 коп.

Пример 9. Некто желает купить выигрышный билет стоящий 237 руб в рассрочку; контора соглашается рассрочить уплату на 10 мес. по равному взносу в каждый месяц, из расчета 12% годовых. Сколько придется платить ежемесячно?

Решение.

237 = x+

q²

+...+

q⁹

(где )q = 1.01

237 = x(1+R) = x

ж
з
и

1-1.01^-9

0.01

ц
ч
ш

x(1+8.5654) = 237

x =

237

9.564

= 24.78 руб

Определение числа сроков ренты

Из формулы (5) временной ренты получим, что aq^-n = [(a)/( qⁿ)] = a-Rt. Отсюда

qⁿ =

a-Rt

прологарифмировав это равенство получим

n =

lna-ln(a-Rt)

lnq

Пример.² Сколько лет продолжается рента, стоимостью 100000 руб и платежи которой равны 5456.4 руб, если рента расчитана по 5¹/₄%?

Решение. Здесь a = 5456.4; R = 100000 руб

q = 1.0525; t = 0.0525

a-Rt = 5456.4 = 5250 = 205.4

n =

1.42219

0.2222

= 64 года.

Ренты помещения

Задача. В начале каждого срока в кредит учреждение вносит по a руб при условии наращивания взносов по сложным процентам - p% в каждый срок. Какой капитал накопится в n сроков?

Решение. Первый взнос в a руб будет находится в обращении из p% в первый срок в течении n сроков, к концу последнего срока образуется капитал

ж
з
и

100

ц
ч
ш

= a(1+t)ⁿ = aqⁿ.

Второй взнос будет находится в обращении (n-1) сроков и к концу срока образуется капитал aq^n-1. Третий обратиться в капитал aq^n-2.

Сумма всех взносов равна

R₂ = aqⁿ+aq^n-1+aq^n-2+...+aq²+aq.

(6)

Умножим обе части последнего равенства на q.

R₂q = aqⁿ⁺¹+aqⁿ+aq^n-1+...+aq³+aq².

(7)

Вычтем из (6) равенство (7)

R₂(q-1) = aqⁿ⁺¹-aq или R₂ =

aq(qⁿ-1)

q-1

которое можно записать так

R₂ =

aq(qⁿ-1)

(8)

По этой формуле вычисляется рента помещения.

Пример 10. Иван Иванович вносит ежегодно в банк по 800 руб под сложные 5%. Какой образуется капитал к концу 20-го года?

Решение. Видоизменяя (8), учитывая, что q-1 = t, имеем

R₂ =

a(1+t)

(qⁿ-1).

R₂ =

800·1.05(1.05²⁰-1)

0.05

= 800·21(1.05²⁰-1)

R₂ = 80·21·1.6534 = 27777 руб

Ренты погашения

Если ежегодные взносы ренты предназначаются на погашение долга и процентов на него за известные промежутки времени, то такая рента называется рентой погашения.

Если занята сумма A и для погашения её вносят ежесрочно в конце каждого срока по a руб, то все эти взносы составляют ренту, стоимость которой равна

a(1-q^-n)

- формула стоимости временной ренты в начале первого срока.

Эта сумма должна равняться занятому капиталу A, т.е.

A =

a(1-q^-n)

откуда

a =

1-q^-n

q-1

q²

+...+

qⁿ

Финансовый смысл этой формулы состоит в том, что при одной и той же продолжительности займа размер срочных взносов увеличивается с увеличением занятой суммы и размера таксы, по которой заключается заём, т.е. чем выше такса, по которой совершен долг, тем меньше его погашение при равных остальных условиях.

С другой стороны из равенства

A =

a(1-q^-n)

где A - занятая сумма или долг, a - сумма вносимая для погашения долга в конце каждого срока, следует, что a = At+[(a)/( qⁿ)]. В этом равенстве At = g - - первое слагаемое, представляет прибыль с занятой суммы, а второе слагаемое [(a)/( qⁿ)] = m - сумму погашения самого долга, т.е. погашение долга это разность между ежегодним взносом и прибылью с занятой суммы.

Погашение первого года будет выражаться, как [(a)/( qⁿ)] -стоимостью ежегодной уплаты, учтенной за n периодов. После первой выплаты, размеры долга будут выражаться формулой A-[(a)/( q^-n)] = A-aq^-n. Прибыль с него за второй период выражается формулой (A-aq^-n)t. Ежегодная уплата и во второй срок равна a. Тогда на погашение останется

a-At+atq^-n = a-a(1-q^-n)+atq^-n = a(q^-n+(q-1)·q^-n) =

= a(q^-n+q^-(n-1)-q^-n) = a·q^-(n-1).

Т.е. погашение производимое во второй срок равно ежегодной уплате, учтенной за n-1 периодов.

Аналогично показывается, что погашение третьего года - aq^-(n-2), погашение четвертого года - aq^-(n-3) и т.д., т.е. погашение каждого года есть ежегодняя выплата, учтенная за число периодов, оставшихся до окончательного погашения долга.

Пример.³ Некто занимает 10000 руб по таксе в 7% в год с тем, чтобы заплатить весь долг и проценты на него равными взносами в течении 12 лет, учитывая каждый взнос в конце года.

Как велика должна быть ежегодная уплата, и каков должен быть план погашения долга?

Решение.

Из формулы A = [(a(1-q^-n))/( t)] получаем

a =

1-q^-n

10000·0.07

1-0.44406

, ибо 1.07^-12 = 0.44406

a =

700

0.55594

= 1259 руб 13 коп

План погашения

Срок Долг в начале года % Погашение Ежегодная уплата
1 10000 700    559.02 1259.02
2 9440.98 660.87    598.15
3 8842.83 619    640.02
4 8202.81 574.20    684.82
5 7517.99 526.26    732.76
6 6785.23 474.97    784.05
7 6001.18 420.08    838.94
8 5162.24 361.36    897.66
9 4264.58 298.52    960.50
10 3304.08 231.29    1027.73
11 2276.35 159.34    1099.68
12 1176.67 82.37    1176.65