Если поместим капитал в 1000 руб под 4%
годовых с годовым периодом наращения, то через год получим 1040 руб.
Если те же 1000 руб поместить на 1 год с полугодовым периодом
наращения
по той же таксе, то получим 1000·(1.02)2 = 1040.4 руб.
Если период наращения 3 месяца, и годовая такса та же, то через год
сумма будет
1000·(1.01)3 = 1040.60 руб.
Если период наращения 1 месяц, и годовая такса та же, то через год
сумма будет 1000·(1+[3/ 100] )12 = 1040.74 руб.
Легко убедиться в следующей закономерности: чем меньше период
наращения, тем больший получается капитал при одинаковой таксе и
одинаковом времени
обращения.
Обозначая [(p)/ 100] через t, заметим, что коэффициенты, на
которые следует умножать капитал, чтобы получить конечный
наращенный капитал при разных периодах, таковы:
1+t <
ж з
и
1+
t
2
ц ч
ш
2
<
ж з
и
1+
t
3
ц ч
ш
3
< ... <
ж з
и
1+
tn
ц ч
ш
n
.
Эти неравенства легко проверить, воспользовавшись формулой бинома
Ньютона
где n - целое положительное число.
Очевидно, что выражения (1+t/k)k возрастает с
увеличением k. Полагая k = tm, найдем, что
ж з
и
1+
tk
ц ч
ш
k
=
й к
л
ж з
и
1+
tm
ц ч
ш
m
щ ъ
ы
t
.
Если m®Ґ, то наращение капитала будетнепрерывным, и т.к.
lim m®Ґ
ж з
и
1+
1m
ц ч
ш
m
= e = 2.718281828... ,
то результат непрерывного наращения капитала вычисляется по формуле
A = a·et,
т.е. по экспоненциальному закону.
Известно [1], что примерами такого непрерывного наращения могут
служить
также прирост народонаселения, рост кольцевых слоев деревьев,
размножение бактерий в дрожжевых культурах и т.д.
Для сравнения результатов наращивания с разными периодами сравнивают
эти наращения
с непрерывным, который считают нормальным типом наращения капитала.
Если капитал отдан по сложным процентам с периодом
наращения, равным 1/n части года, то результат наращения будет больше
результата наращения с годовым периодом и для того,
чтобы результат наращения был одинаков, надо изменить
таксу годового наращения. Это изменение определяется из
следующего уравнения:
(1+x) =
ж з
и
1+
tn
ц ч
ш
n
и
x =
ж з
и
1+
tn
ц ч
ш
n
-1
и, наоборот,
t = n·
ж и
___ nЦ1+x
-1
ц ш
.
Так, если капитал отдан под 4% с полугодовым периодом
наращения, то, чтобы получить тот же результат наращения с годовым
периодом, надо капитал
отдать по таксе x, определяемой из уравнения
x =
ж з
и
1+
t
2
ц ч
ш
2
-1, где t =
4
100
x = t+
t2
4
= 0.04+0.0004
x = 0.0404
p = 4.04.
Следовательно, такса 4.04% с годовым
периодом наращения эквивалентна таксе 4% с
полугодовым периодом наращения.
Также при периоде наращения, равном 3 месяца, такса в 5%
эквивалентна таксе 5.09% с годовым периодом наращения.
Сравнение простых и сложных процентов
Рассмотрим исторический пример, иллюстрирующий
колоссальный рост наращения по сложным процента, если
число периодов начисления велико.
В 1624 г. за остров Манхеттен, на котором расположен центр Нью-Йорка,
вождю индейского племени было уплачено 24 долларов. В 1974 году - через
350 лет -стоимость земли этого острова оценивалась примерно в 40
млрд. долларов,
т.е. коэффициент приращения составил 1.667·109 !
Этот колоссальный рост достигается при небольшой годовой ставке сложных
процентов -всего 6.3%.
Причина этого прироста - огромный временной срок.
Приведенный пример носит условный характер, т.к. реальный вклад на
такой срок невозможен, к тому же и деньги разные (высок процент инфляции).