Из общей формулы сложных процентов (1) выразим
начальный капитал a:
a =
An
(1+t)n
.
Логарифмируя формулу (1), найдем формулу, определяющую
число периодов наращения
n =
lgAn-lga
lg(1+t)
,
где t = [(p)/ 100].
Формула, определяющая таксу, запишется так:
t = n
ж Ц
Ana
-1
или
ln(1+t) =
lnAn-lnan
.
Пример 4. Какой капитал следует поместить по
сложным процентам по 51/4% в год, чтобы к концу
93 года иметь 4817000 руб?
Ответ:a = [4817000/( (1+0.0525)93)] » 41316
руб.
Пример 5. На сколько лет следует поместить капитал в
3000 руб,
на сложные проценты по таксе 4% с годовым периодом наращения,
чтобы
иметь 102358 руб?
Ответ:n = [(lnAn -lna)/( ln(1+t))] » 90
лет.
Задача. Через сколько времени капитал, отданный по
p%, удвоится?
Решение. По условию задачи ясно, что
надо разрешить
следующее уравнение
2a = a(1+t)n, где t =
p
100
относительно n.
Имеем
n =
ln2
ln(1+t)
=
0.6931472
ln(1+t)
;
но для достаточно малых t
ln(1+t) = t-
t2
2
+
t3
3
-
t4
4
+ ...;
приблизительно
n =
0.693
ж з
и
1-
t
2
ц ч
ш
·
1t
;
при t = 0.02 получим
0.693
0.99
·
1
0.02
=
70
2
= 35;
если p = 5%, то
n =
70
5
= 14
и т.д., т.е. приближенное число лет, по истечении которых
капитал
удвоится,
равняется 70, деленному на таксу (если p < 10).
Приближенная формула, показывающая число лет, по истечении
которых
капитал утроится, такова n = [112/( p)]; число лет,
по истечении которых капитал учетверится, таково
n = [142/( p)]; и т.д.